正交试验设计

1正交试验设计在生产和科研工作中，经常要做许多试验。特别在纺织生产过程中，实际问题是错综复杂的。影响试验结果的因素很多，有些因素单独起作用，有些因素的水平好坏与另一个因素水平的选取有紧密地依赖关系。在安排试验时总想多试验几个因素，但是逐个试验，次数必然很多，不仅会耗费大量的人力物力，而且有时还会因为时间的拖长，试验条件改变，使试验失败。那么，如何安排这种多因素的试验，使试验既能次数少，耗费小，又能得到正确结论，取得较好的效果呢？这就是值得研究的一个问题。正交试验设计是一种安排多因素试验的数学方法，它是从大量生产实践和科学实验中总结出来的，它在提高产品的产量、质量，研究采用新工艺、新品种，了解新设别的工艺性能以及改进技术管理等方面，都取得了较好的效果。正交试验设计所要解决的问题是：1.合理安排多因素的试验，使试验次数尽量减少。2.从试验数据中能分析各因素对试验结果造成的影响，即要能分析出哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些是独立作用，哪些是交互作用。第一节正交表的一般知识一、正交表的定义设有a1,a2…ar和b1,b2…bs两组水平，把“水平对”（a1，b1），（a1，b2）…（a1，bs）（a2，b1），（a2，b2）…（a2，bs）………………………………………（ar，b1），（ar，b1）…（ar，bs）称为上述两组水平所构成的“完全对”。一般写成（ai，bj），用数码表示，如（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）“完全对”的个数=因素1的水平数因素2的水平数如果一个矩阵的某两列中，同一行的水平所构成的“水平对”是一个“完全对”，而且每次出现的次数相同时，就说这两列搭配均衡。如2111112221222122222111211212121212121221211122112在每两列中，（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）都各出现一次，因此“搭配均衡”。又如111111111112212122121212211122111222211221112212122121221122212222221221在每两列中，（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）都各出现两次，因此也是“搭配均衡”的。由此，可以得到正交表的定义为：设A是一个nm矩阵，如果A的任意两列都搭配均衡，则称A是一个正交表。也就是说，只要任意两列的水平所构成的“水平对”是一个带有相同重复的“完全对”，或者说只要任意两列间各个水平相碰次数相同，搭配均匀，这样的表格就叫正交表。其实正交表就是利用“均衡分散性”和“整齐可比性”这两条正交性原理，从大量试验方案中挑选适当的具有代表性、典型性的试验点，并按照有规律的顺序排列成的表格。可见，正交表必须满足两个条件：（一）每列中，各种水平出现的次数相等。（二）任意两列中，“完全对”出现的次数也相等。再看（1）112（2）112（3）112（4）212121211222221211121121111222222211122它们都是正交表，把（1）的第一列何第二列互换得（2）表，把（1）的第4行换到第2行3得（3）表，把（1）表的第1列的水平编号1和2互换得（4）表。由此可知正交表有如下一些性质：1．列的位置可以互换，互换后仍然是任两列搭配均衡。2．行的位置可以互换，互换后“水平对”没有变。3．同列的水平可以互换，互换后不影响“水平对”。二、正交表的代号正交表分为几种类型，由于水平数和列数不同，就出现了各式各样的正交表。现在仅对常用正交表的代号作如下介绍。一般正交表的代号为)(qNtL其中：L-----正交表；N-----试验方案数（正交表的行数）；t-----因素的水平数（或叫位级数、处理数）；q-----正交表的列数。如)2(34L，表示试验4个方案，全是2水平，共有3列的正交表。又如)2(78L，表示试验8个方案，全是2水平，共有7列的正交表。又如)3(49L，表示试验9个方案，全是3水平，共有4列的正交表。又如)5(625L，表示试验25个方案，全是5水平，共有6列的正交表。当试验因素的水平不相同时，有混合型正交表，其代号为)(2121qqNttL如)36(618L，表示试验18个方案，有1列6水平和6列3水平的正交表。如)24(6316L，表示试验16个方案，有3列4水平和6列2水平的正交表。四、正交表的交互作用表按正规方法排出的正交表，大多数都附有交互作用表，以便在考察交互作用时使用。现以)2(78L的交互作用表（表5-9）为例说明交互作用表的用法。4表5-9交互作用表把两个列号像坐标找交点一样，找到表中的交点即为交互列的列号。如第1、2列的交互列在第3列；第3、6列的交互列在第5列。有些正交表后面没有附上交互作用表，可能有以下原因：（1）在正交表下面注明一句话就能表达了，不必列成表，如)2(34L，在下面注明，任意两列间的交互作用为另一列。意思表示：第1、2列的交互列在第3列；第1、3列的交互列在第2列；第2、3列的交互列在第1列。（2）这些表无法考察交互作用。（3）这张表不是按正规方法排出的。关于交互列的知识，只简要介绍两点：（一）任两列间都有1t个交互列（t为因素的水平数）。如2t时，任两列间都有112个交互列。3t时，任两列间都有213个交互列。（二）正交表中交互列的总数为2)1(qCt个。式中，C为排列符号，q为安排因素的列数，如)2(73L取5q时共有10245)!25(!2!51)12(25C个交互列。如)32(4L取3q时共有3223)!25(!2!31)12(25C个交互列。总的规律是：水平数越多，交互列数越多；考察的因素越多，交互列也越多。5第二节正交试验设计的应用正交试验设计法可用于纺织工程中的多因素问题分析。下面通过几个实例，从中总结出正交试验设计的一般步骤和方法。例5-1为了提高18特汗布的条干，减少由于条干粗细结较多产生的阴影，在工艺方面进行试验。根据经验，条干不好主要是握持力与牵伸力不相适应。按照工厂的具体条件，选择细纱后牵伸、细纱加压和粗纱捻系数这三个因素，并各取三个水平进行试验，其因素水平表如表5-10所示。表5-10因素水平表细纱后牵伸A细纱加压重B粗纱捻系数C11.1410×7kg9521.0113×7kg10431.2413×8kg112选什么样的正交表呢？考虑到三个水平的正交表有)3(49L，)3(78L，)3(1327L等，由于试验次数不能多，又没有考察交互作用，故选)3(49L。正交表选定后，要把因素具体放在哪一列上，这叫“表头设计”，由于不考察交互作用，因此，可以随便摆放，如表5-11。表5-11表头设计列号1234因素ABC第3列空着不用，只用其它三列，仍然是一张正交表。紧接着列出每次试验的具体方案，这叫“填试验表”（或叫填试验计划表），详见表5-12。填表的方法是先把)3(49L画出，注意把每一列的水平编号一齐填在表中每个位置的左边。根据表头设计把因素的名称和代号填上。第3列空着未用可以不画不填。另在右边加一列作为今后填试验结果用。最后，根据因素水平表把具体数据填在水平编号的右边。这样就得到每一次试验的具体方案。如第一次试验是：细纱后牵伸1.14，细纱加压10×7，粗纱捻系数95。因素水平6表5-12正交试验表124汗布条干名次xi后牵伸A加压B捻系数C11（1.14）1（10×7）1（95）321（1.14）2（13×7）2（104）231（1.14）3（13×8）3（112）142（1.01）1（10×7）3（112）952（1.01）2（13×7）1（95）862（1.01）3（13×8）2（104）773（1.24）1（10×7）2（104）483（1.24）2（13×7）3（112）593（1.24）3（13×8）1（95）6下一步就是根据试验表的安排进行试验，共做9次试验。汗布条干用名次表示，最好的是1，最差的是9，把试验结果填入表5-12中最后一列。下面对试验结果进行直观分析。表5-13中，K是同一列中同一水平的试验结果之和，脚标为水平编号，如K1是同一列中1水平的试验结果之和；K是K的平均值，即K=nK，n为同一列中同一水平的试验次数；R是极差，是同列中K的最大值和最小值之差。表5-13直观分析表ABC结果ix11113212213133242139522186232773134列号因素试验号因素试验号78323593316K161617K2241412K31515161K216/317/32K814/343K5516/3R62/35/3为了更加直观，下面给出各个因素试验结果的趋势图如图5-1。图5-1趋势图其中：A因素的K1=3+1+2=6，K2=9+8+7=24，K3=4+5+6=15；0123456789后牵伸倍数名次1.011.141.2412345678910细纱加压（千克）名次10×713×713×812345678910粗纱捻系数名次951041128A因素的1K=236，1K=8324，1K=5315；A因素的R=628。根据上面的资料和图形，就可以着手分析了。首先是三个因素地影响主次。这可用极差来分析，极差大说明这个因素的不同水平对结果的影响较大，极差小说明这个因素不论取什么水平对结果的影响较小。因此得出判断的方法是：极差大的是主要因素，极差小的是次要因素。本例中，A因素极差最大，C因素其次，B因素更次。一般写成：另外还要找出最佳组合方案。这可以用各因素水平的平均数来分析。在A因素中1水平名次最好，在B因素中2水平名次最好，在C因素中2水平名次最好。把三个因素的最好水平组合起来就是最佳组合方案。一般写成：A1B2C2即后牵伸1.14，细纱加压13×7kg，粗纱捻系数104组合起来的条干最好。这个组合恰好是第2号试验，名次列为第一，说明已经试过了。为了防止偶然，可重复试验一次。在实际工作中，影响细纱条干的因素，也同时会影响其它质量指标。如品质指标和重量不匀率。在生产中希望找到一个最佳的组合方案来提高黑板条干，但是不能因此使品质指标和重量不匀率变坏而造成降等。这就出现了多指标的分析问题。下面举个例子，说明对多指标的分析方法。例5-2选粗纱捻系数、加压杠杆比、加压铊重和钳口隔距四个因素，并各取三个水平做试验，目的是提高黑板条干，同时考虑品质指标和重量不匀率，暂不考察交互作用。因素和水平见表5-14表5-14因素水平表粗纱捻系数加压杠杆比加压铊重钳口隔距ABCD1892.1:12.5千克4毫米2941.8:13.0千克3.5毫米3991.6:12.7千克3.8毫米由于暂不考察交互作用，四个因素都是三个水平，故选用)3(49L也能满足要求。表头主A次BC因素代号水平9设计比较简单，每列放一个因素就行了。把试验表和试验结果列在表5-15内，以便分析。表5-15直观分析表1234试验结果ABCD黑板条干名次（小好）品质指标（大好）重量不匀率（小好）1234567891（89）1（2.1:1）1（2.5）1（4）824171.701（89）2（1.8:1）2（3.0）2（3.5）924061.851（89）3（1.6:1）3（2.7）3（3.8）524281.902（94）1（2.1:1）2（3.0）3（3.8）323922.202（94）2（1.8:1）3（2.7）1（4）224302.102（94）3（1.6:1）1（2.5）2（3.5）123972.353（99）1（2.1:1）3（2.7）2（3.5）424031.803（99）2（1.8:1）1（2.5）3（3.8）624051.953（99）3（1.6:1）2（3.0）1（4）724321.75黑板条干名次品质指标重量不匀率K122151517K17246721372197279K16.455.705.705.55K26171914K27220724172317206K26.555.905.806.00K317131114K372407