第五章-曲线坐标系(原创)

矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念第二节第二节拉梅（拉梅（LameLame）系数）系数第三节第三节坐标变换坐标变换第四节第四节正交曲线坐标系中的三度正交曲线坐标系中的三度第五章第五章曲线坐标系曲线坐标系矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学xyzoM1q2q3q第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念如果空间里的点，其位置不是用直角坐标（如果空间里的点，其位置不是用直角坐标（xx,,yy,,zz））来表示，而是用另外三个有序数（来表示，而是用另外三个有序数（qq11，，qq22，，qq33）来表示。）来表示。就是说，每三个有序数就是说，每三个有序数（（qq11,,qq22,,qq33）就确定一个空间点；）就确定一个空间点；反之，空间里的每一点都对应着反之，空间里的每一点都对应着三个这样的有序数（三个这样的有序数（qq11,,qq22,,qq33），），则称则称（（qq11,,qq22,,qq33），为空间点的），为空间点的曲线坐标曲线坐标。。矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学xyzoM1q2q3q显然，每个曲线坐标显然，每个曲线坐标（（qq11,,qq22,,qq33）都是空间点的单值）都是空间点的单值函数，由于空间点又可用直角坐标（函数，由于空间点又可用直角坐标（xx,,yy,,zz）来确定，所）来确定，所以每个曲线坐标以每个曲线坐标（（qq11,,qq22,,qq33）也都是直角坐标）也都是直角坐标（（xx,,yy,,zz））的单值函数：的单值函数：112233(,,)(,,)(,,)qqxyzqqxyzqqxyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念反过来，每个直角坐标与都是曲反过来，每个直角坐标与都是曲线坐标的单值函数：线坐标的单值函数：123123123(,,)(,,)(,,)xxqqqyyqqqzzqqq=⎧⎪=⎨⎪=⎩矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念容易看出，下面的三个方程容易看出，下面的三个方程112233(,,)(,,)(,,)qxyzcqxyzcqxyzc=⎧⎪=⎨⎪=⎩（（cc11，，cc22，，cc33为常数）为常数）分别表示三个函数的分别表示三个函数的等值曲面等值曲面；；给给cc11，，cc22，，cc33以不同的数以不同的数值，就得到三族等值曲面，值，就得到三族等值曲面，这三族等值曲面，称为这三族等值曲面，称为坐标坐标曲面曲面。。由于函数是单值函数，由于函数是单值函数，所以在空间的各点，每族等所以在空间的各点，每族等值曲面都只有一个曲面经过。值曲面都只有一个曲面经过。2q曲线3q曲线1q曲线xyzo11qc=M22qc=33qc=1eG2eG3eG矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学此外，在坐标曲面之间，两两相交此外，在坐标曲面之间，两两相交而成的曲线，称为而成的曲线，称为坐标曲线坐标曲线。。在由在由坐标曲面坐标曲面2233(,,)(,,)qxyzcqxyzc=⎧⎨=⎩相交而成的坐标曲线相交而成的坐标曲线qq11上，上，因因qq22与与qq33分别保持常数，只分别保持常数，只有有qq11在变化，所以称此曲线在变化，所以称此曲线为坐标曲线为坐标曲线qq11或或简称简称qq11曲线曲线。。同理还有同理还有qq22和和qq33曲线。曲线。第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念2q曲线3q曲线1q曲线xyzo11qc=M22qc=33qc=1eG2eG3eG矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学以后，我们假定在以后，我们假定在空间里的任一点空间里的任一点MM处，处，坐标曲线都互相坐标曲线都互相正交正交（即各坐标曲线在该点（即各坐标曲线在该点的切线互相正交）；的切线互相正交）；第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念2q曲线3q曲线1q曲线xyzo11qc=M22qc=33qc=1eG2eG3eG此时，相应地各坐标此时，相应地各坐标曲面也互相曲面也互相正交正交（即各坐（即各坐标曲面在相交点处的法线标曲面在相交点处的法线互相正交）。该坐标系称互相正交）。该坐标系称为为正交曲线坐标系。正交曲线坐标系。矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学另外，用另外，用ee11,,ee22,,ee33依依次表示坐标曲线次表示坐标曲线qq11,,qq22,,qq33上的上的切线单位矢量切线单位矢量，分别，分别指向指向qq11,,qq22,,qq33增大的方向。增大的方向。第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念其间的相互位置关其间的相互位置关系，除由上述知其彼此系，除由上述知其彼此正交外，我们还假定它正交外，我们还假定它们构成右手坐标制。们构成右手坐标制。1()0()ijijeeij=⎧⋅=⎨≠⎩GG123231312eeeeeeeee×=⎧⎪×=⎨⎪×=⎩GGGGGGGGG2q曲线3q曲线1q曲线xyzo11qc=M22qc=33qc=1eG2eG3eG矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学◆柱面坐标系◆柱面坐标系点点MM在空间的柱面坐标（亦称圆柱坐标），是这在空间的柱面坐标（亦称圆柱坐标），是这样三个有序数样三个有序数第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分002zρθπ≤+∞⎧⎪≤⎨⎪−∞+∞⎩(,,)zρθρ其中其中————点点MM到到OzOz轴的距离；轴的距离；————过点过点MM且以且以OzOz轴为界的半平面与轴为界的半平面与xOzxOz平面之间的平面之间的夹角；夹角；————就是点就是点MM在其直角坐标在其直角坐标((xx,,yyzz))中的中的zz坐标。坐标。θxyθMzOρeGρeGθzeGρ曲线θ曲线z曲线z而且而且的变化范围是：的变化范围是：(,,)zρθ矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学坐标曲面坐标曲面第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分根据上述，可得到点根据上述，可得到点MM的直角坐标的直角坐标与柱面坐标之间的如下关系：与柱面坐标之间的如下关系：cos,sin,xyzzρθρθ===xyθMzOρeGρeGθzeGρ曲线θ曲线z曲线————以以OzOz轴为轴的圆柱面，轴为轴的圆柱面，————以以OzOz轴为界的半平面，轴为界的半平面，————平行于平行于xOyxOy平面的平面。平面的平面。坐标曲线坐标曲线cczc===ρθ曲线，曲线，曲线，曲线，曲线曲线ρθzcossinxyzz=⎧⎪=⎨⎪=⎩ρθρθ矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学◆球面坐标系◆球面坐标系点点MM在空间的球面坐标（亦称球坐标），是这在空间的球面坐标（亦称球坐标），是这样的三个数样的三个数((rr,,θθ,,φφ))第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分0002rθπϕπ≤+∞⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩其中其中rr————点点MM到原点的距离；到原点的距离；θθ————有向线段有向线段OMOM与与OzOz轴正向之间的夹角；轴正向之间的夹角；φφ————过点过点MM且以且以OzOz轴为界轴为界的半平面与的半平面与xOzxOz平面平面之间的夹角。之间的夹角。而且而且rr,,θθ,,φφ的变化范围是：的变化范围是：矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学坐标曲面是：坐标曲面是：rr==cc————以以OO为中心的球面，为中心的球面，θθ==cc————以以OzOz轴为轴的圆锥面，轴为轴的圆锥面，φφ==cc————以以OzOz轴为界的半平面。轴为界的半平面。坐标曲线是：坐标曲线是：rr曲线，曲线，θθ曲线，曲线，φφ曲线。曲线。第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分sincossinsincosxryrzr=⎧⎪=⎨⎪=⎩θϕθϕθ根据上述，可得到点根据上述，可得到点MM的直角坐标的直角坐标与球面坐标之间的如下关系：与球面坐标之间的如下关系：矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学第一节第一节曲线坐标的概念曲线坐标的概念第二节第二节拉梅（拉梅（LameLame）系数）系数第三节第三节坐标变换坐标变换第四节第四节正交曲线坐标系中的三度正交曲线坐标系中的三度第五章第五章曲线坐标系曲线坐标系矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学有了单位矢量有了单位矢量ee11,,ee22,,ee33后，在后，在MM点处的任一矢量点处的任一矢量AA，都，都可表示为可表示为其中其中AA11，，AA22，，AA33依次是矢量依次是矢量AA在在ee11,,ee22,,ee33方向上的投影。方向上的投影。112233AAeAeAe=++GGGG第二节第二节坐标变换坐标变换另外，矢量另外，矢量AA在直角坐标系中的表达式为在直角坐标系中的表达式为Axiyjzk=++GKKK因为矢量是与坐标无关的，因为矢量是与坐标无关的，二者相等二者相等。因此，要想将直角坐。因此，要想将直角坐标系下的矢量标系下的矢量AA表示成曲线坐标系下的表达式，需要确定出表示成曲线坐标系下的表达式，需要确定出AA11，，AA22，，AA33和和ee11,,ee22,,ee33。。矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学在正交曲线坐标系中，其坐标变量（在正交曲线坐标系中，其坐标变量（qq11,,qq22,,qq33）不一）不一定都是长度量，即不一定都是定都是长度量，即不一定都是直角坐标系直角坐标系下的基坐标。可下的基坐标。可能是角度量，能是角度量，比如球面坐标和柱坐标体系中，很多坐标就比如球面坐标和柱坐标体系中，很多坐标就是角度。是角度。第二节第二节坐标变换坐标变换这时，线元要变成长度单位，必然有一个修正系数，这时，线元要变成长度单位，必然有一个修正系数，这些修正系数称为这些修正系数称为拉梅系数拉梅系数。。dxdydzrdrdzdrθdθ矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分拉梅系数求法主要有：拉梅系数求法主要有：几何法、数学定义法、坐标微分法几何法、数学定义法、坐标微分法1.1.几何法几何法在新坐标系下，由微元体的线元来求得。在新坐标系下，由微元体的线元来求得。rdrdrθdθ（（11）柱坐标系）柱坐标系1,,sinrHHrHrθϕθ====1,,1zHHHρθρ====xxrθϕsinrθdθdrθdϕsindrθϕdrzydϕ（（22）球坐标系）球坐标系矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分空间曲线的弧微分，有公式空间曲线的弧微分，有公式::222d=dddsxyz++坐标曲线坐标曲线qq11上，上，其上只有坐标其上只有坐标qq11在变化。在变化。另外两个坐标另外两个坐标qq22和和qq33都保持不变，都保持不变，即有即有ddqq22=d=dqq33=0=0。所以。所以232311111112311212331123d=dd=dddddd=ddddddxxxxqqqqyyyyqqqqzzxqqyqqzzqqqqqqqqzqqqq∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂⎧∂⎪∂⎪∂∂∂∂++=∂∂⎪∂⎨∂⎪∂⎪⎪∂⎩在坐标曲线在坐标曲线qq11上上M1ds2ds3ds1q2.2.定义法定义法通过求坐标曲线弧微分，给出定义式。通过求坐标曲线弧微分，给出定义式。矢量分析与场论矢量分析与场论东北石油大学东北石油大学如用如用ddss11表示坐标曲线表示坐标曲线qq11的弧微分，则有的弧微分，则有第二节第二节坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分2221111111d=dddxyzsqqqqqq⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂±++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠通常取坐标曲线弧长增大的方向与对应的曲线坐标增大时通常取坐标曲线弧长增大的方向与对应的曲线坐标增大时坐标曲线的走向一致。这样，坐标曲线的走向一致。这样，ddss11与与ddqq11就有相同的正负号就有相同的正负号。。从