平面向量的综合应用专题研究(习题和答案)

平面向量的综合应用专题研究1．(2010·湖南卷改编)已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB→|＝5，则AC→·CB→等于()A．－52B.52C．0D.532答案A解析本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB＝60°⇒AC→·CB→＝－CA→·CB→＝－|CA→|·|CB→|·cos∠ACB＝－5·5·cos60°＝－52.2．已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：∃t∈R，使得a＝tb，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵|a·b|＝|a||b||cosθ|＝|a||b|，∴θ＝0°或180°，即a，b共线．∴∃t∈R，使得a＝tb成立．∴p是q的充分条件．若∃t∈R，使得a＝tb，则a，b共线，∴|a·b|＝|a||b|.∴p是q的必要条件．综上可知，p是q的充要条件．3．P是△ABC所在平面上一点，若PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案D解析由PA→·PB→＝PB→·PC→得PB→·(PA→－PC→)＝0.即PB→·CA→＝0.∴PB→⊥CA→.同理PA→⊥BC→.即P为垂心．4．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则当(a＋b)2＝(a－b)2时，该平行四边形为()A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不正确答案B解析数形结合，在平行四边形中，a＋b＝AB→＋AD→＝AC→，a－b＝AB→－AD→＝DB→，由|a＋b|＝|a－b|，∴|AC→|＝|DB→|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案B解析OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|⇒|AB→＋AC→|2＝|AB→－AC→|2⇒AB→·AC→＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.6．在△ABC中，AB→·BC→＝3，△ABC的面积S∈[32，32]，则AB→与BC→夹角的取值范围是()A．[π4，π3]B．[π6，π4]C．[π6，π3]D．[π3，π2]答案B解析设〈AB→，BC→〉＝α，因为AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cosα＝3⇒|AB→|·|BC→|＝3cosα，又S＝12|AB→|·|BC→|·sin(π－α)＝12·3cosα·sin(π－α)＝32tanα，而32≤S≤32⇒32≤32tanα≤32⇒33≤tanα≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.7．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若(AB→＋BC→)·(BA→＋AD→)＝0，则四边形EFGH是()A．平行四边形，但不是矩形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＋BC→＝AC→，BA→＋AD→＝BD→，且(AB→＋BC→)·(BA→＋AD→)＝0，∴AC→·BD→＝0，即AC→⊥BD→.又∵E、F、G、H为四边形ABCD四边的中点，∴EH→∥BD→∥FG→，EF→∥AC→∥HG→，故四边形EFGH为平行四边形且EH→⊥EF→，即为矩形．8．已知坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→·OB→等于________．答案－34解析设A(y212，y1)，B(y222，y2)，则OA→＝(y212，y1)，OB→＝(y222，y2)，又由y1y2＝－p2＝－1.∴OA→·OB→＝(y212，y1)·(y222，y2)＝14y21y22＋y1y2＝14－1＝－349．已知向量m＝(0，－1)，n＝(cosA,2cos2C2)，其中A、B、C是△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|m＋n|的取值范围．答案[22，52)解析2B＝A＋C，B＝π3，A＋C＝2π3，∴0A2π3.m＋n＝(cosA,2cos2C2－1)＝(cosA，cosC)，|m＋n|＝cos2A＋cos2C＝1＋cos2A2＋1＋cos2C2＝1＋12[cos2A＋cos4π3－2A]＝1＋12cos2A＋π3π32A＋π35π3，∴－1≤cos(2A＋π3)12，∴|m＋n|∈[22，52)．10．(2012·烟台调研)已知向量m＝(a＋c，b)，n＝(a－c，b－a)，且m·n＝0，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的取值范围．解(1)由m·n＝0，得(a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0⇒a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，∵0Cπ，∴C＝π3.(2)∵C＝π3，∴A＋B＝2π3.∴sinA＋sinB＝sinA＋sin(2π3－A)＝sinA＋sin2π3cosA－cos2π3sinA＝32sinA＋32cosA＝3(32sinA＋12cosA)＝3sin(A＋π6)．∵0A2π3，∴π6A＋π65π6.∴12sin(A＋π6)≤1.∴323sin(A＋π6)≤3，即32sinA＋sinB≤3.11．平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，且a2(x－12)2＋b2(y－12)2＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝(x－12)OA→＋(y－12)OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．分析对第(1)问，可先求OM→，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M为线段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P，O，A，B四点共圆，结论即可得到．解析(1)因为点M为线段AB的中点，所以OM→＝12OA→＋12OB→.所以MP→＝OP→－OM→＝(xOA→＋yOB→)－(12OA→＋12OB→)＝(x－12)OA→＋(y－12)OB→.(2)设点M为线段AB的中点，则由OA→⊥OB→，知|MA→|＝|MB→|＝|MO→|＝12|AB→|＝1.又由(1)及a2(x－12)2＋b2(y－12)2＝1，得|MP→|2＝|OP→－OM→|2＝(x－12)2OA→2＋(y－12)2OB→2＝(x－12)2a2＋(y－12)2b2＝1.所以|MP→|＝|MO→|＝|MA→|＝|MB→|＝1.故P，O，A，B四点都在以M为圆心，1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的直径时，|OP→|max＝2.这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝|OA→|·|OB→|＝ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b＝2时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.