高等数学-常数项级数的概念和性质

1北京工业大学高等数学教程2为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表）.级数来分析问题,3引例一人骑车从距家a公里处以每小时b公里的速度回家.一只苍蝇以每小时2b公里的速度在车的前轮和家门之间往返飞行.问：骑车人到家时，苍蝇飞行了多少公里.第一个往返，人与苍蝇通过的路程之和是2a公里.苍蝇速度是人的2倍.所以苍蝇飞行了34a公里,人走了32a公里,距家3a公里.4a34a132a次数距家人苍蝇3a23494aa292a9a334274aa3272a13nana34nna32…………5.23111343434343432aaaaaan骑车人走了a公里,苍蝇速度是人的2倍,飞了2a公里.67.1常数项级数的概念和性质第七章无穷级数7.1.1常数项级数的概念给定一个常数列称为(常数项)无穷级数,简称级数.,,,,,321nuuuunuuuu321nnnuuuuu3211记为,1nnu即其中第n项称为级数的一般项,或通项.nu则表达式7nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数一般项如;1031003103n;1)1(41312111nn.)1(11111n以上均为(常)数项级数.(1)8这样,级数(1)对应一个部分和数列:nnuuus21称无穷级数(1)的,11us,212uus,3213uuus,21nnuuus按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的,无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项之和第n部分和.niiu1部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.9nnuuus21定义7.1级数的前n项和1nnu称为级数的部分和.1nnus,}{ssn有极限如果数列记为,limssnn即则称级数收敛,1nnu极限s称为级数的和,则称级数1nnu发散.注:如果级数发散,只是形式上的和,无数值1nnu意义.如果部分和数列的极限不存在,}{nsnuuu211021nnnnuussr,0limnnr称为级数的余项.显然有当n充分大时,当级数收敛时,其部分和是级数和s的近似值..nss误差为ns注常数项级数收敛(发散).nnslim(不存在)存在11解,1q如果12nnaqaqaqasqaqan1例讨论等比级数(又称几何级数)的收敛性,其中q叫做级数的公比.)0(20aaqaqaqaaqnnn,1时当q,0limnnqqasnn1lim收敛;,1时当q,limnnqnnslim发散;12，如果1q,1时当q,1时当qnasn发散;aaaa,lim不存在nns发散.发散时当收敛时当,1,10qqaqnn级数变为综上所述重要结论:.1,1q公比首项例.________)1(______,,11121nnnnnqqq时当231qqqq1公比为q的几何级数的和13讨论级数的敛散性.)0(ln31aann解例因为1ln3nna为公比的等比级数,是以aln故,1时当eae,1|ln|a级数收敛.发散.ea10当,1|ln|a发散时当收敛时当,1,10qqaqnn,时或ea14证因,2)1(dnnnasn证明等差级数是发散的.nnslim所以,该级数发散..0,,dda且为常数例形如的级数称为等差级数,其中1)(nnda15解)1(1321211nnsn1113121211nn例判定级数的敛散性.所以,该级数收敛,且其和为1.,111n1limnns)1(1321211nn16的部分和分别为.nns及则nks于是nnnnkslimlim证性质1k是一常数,11nnnnkuu与令nnkukuku21所以,11nnnnukku7.1.2收敛级数的基本性质如果级数收敛于s,1nnu并且其和为ks.则级数也收敛,1nnkunnsklim,ks结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变..ks17性质2,1sunn且,1nnv.)(1svunnn则1nnu若1nnv)(1nnnvu则发散.,1nnu若收敛,发散,1nnv均发散,)(1nnnvu则敛散性不确定.证niiivu1)(极限的性质niiinvu1)(limniinniinvu11limlim即证.级数的部分和niiniivu11如果级数都收敛,11nnnnvu与结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.18例11131,21nnnn1121nn1121nn都收敛.131nn2111113131nn无穷递减等比级数的和qaS11发散时当收敛时当,1,10qqaqnn113121nnn3111312519性质3添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质41nnu设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.证)()(54321uuuuu,21s.limlimssnnmm,52s93s,,nms则20四个相关命题:(1)收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛.(3)收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.(2)加括弧后发散的级数,去括弧后仍发散.(4)发散的级数加括弧后不一定发散.例如1111收敛发散)11()11(21证1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssu0ss性质5(级数收敛的必要条件)若级数收敛,1nnulim0.nnu则所以0limnnu必要条件不充分！！！收敛1nnu22(1)级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;(3)必要条件不是充分条件.,0limnnu有n131211如调和级数(2)也可用于验证数列的极限为“0”;但级数是否收敛?1)1(4332211nnn发散注意:例如,23nnnssnn2121112212nn)lim(2nnnss,0ssnnn13121111发散重要结论:所以,级数发散.这是不可能的,),(210n假设调和级数收敛,其和为s.于是因有24两个相关命题:收敛1)1(nnu例如：.0limnnu发散1)2(nnu.0limnnu.01limnn但,11发散调和级数nn25例判别下列级数的敛散性)1(13)32)(12)(12(52nnnnnn)2(1)1(3nnnnn133ln31nnnn)3(级数收敛的必要条件常用判别级数发散.,0limnnu解题思路26)1(13)32)(12)(12(52nnnnnn解由于nnulim81发散0)32)(12)(12(52lim3nnnnnn)2(1)1(3nnnnn解由于nnulimnnn111lim30发散e327133ln31nnnn)3(解11nn131nn而级数33lnr33ln||r所以这个等比级数133ln31nnnn发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,133lnnnn是以1收敛.281nnu设为收敛级数,a为非零常数,试判别级数1)(nnau的敛散性.解因为1nnu收敛,故.0limnnu从而)(limaunn0故级数1)(nnau发散.a0limnnu级数收敛的必要条件:29作业习题7.1(64页)1.(2)(4)3.(3)(4)(5)5.