28.2.2 解直角三角形应用举例(第1课时)

28.2.2解直角三角形应用举例第1课时人教版九年级数学第二十八章锐角三角函数在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)温而知新ABC┌如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠A=α°，BC=m，则AC=33tanm例3：2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）分析：从组合体中能直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．·OQFPα例题如图，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点．的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即）的度数.PQPQPQ解：在图中，设∠POQ=，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴弧PQ的长为当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2051km.·OQFPα9491.034364006400cosOFOQ36.18）（km2051640018036.18利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.ABCDαβ仰角水平线俯角例4:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．ttan,BDRABDaAD在中Q30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为277.1mABCDαβttanCDRACDAD在中1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中tanACADCDCtanACDCADCtan54401.384055.2所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆的高度为15.2m.练习2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°ABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角BDDEBDEcosBDEBDDEcos8.33264.052050cos520