【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第九章 第六节 数学归纳法教案

1第六节数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2．数学归纳法的框图表示对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋2＋k＋＝k2＋3k＋2k2＋3k＋＋k＋＝k＋2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证明过程是否正确？为什么？提示：不正确．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，没能利用当n＝k时的假设．1．在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为nn－2条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0解析：选C因为凸边形的边数n≥3，所以第一步检验n＝3.2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1(n∈N*)，则f(1)为()A．1B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案解析：选C∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1，∴f(1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1＝1＋12＋13＋14＋15.3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该2命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析：选C因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1时，命题也成立．现n＝5时，命题不成立，故n＝4时命题也不成立．4．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N，且n1)，第一步要证的不等式是________________．解析：当n＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋132.答案：1＋12＋1325．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增添的代数式是_____________________________________________________________．解析：∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增添(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2前沿热点(十四)数学归纳法的应用数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，常与数列、函数等知识结合一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题．[典例](2012·湖北高考改编)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x0)，其中r为有理数，且0r1，(1)已知当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，试证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1＋b2＝1，则a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2；(2)请将(1)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题．[解题指导](1)对于不等式的证明要注意利用已知条件进行突破；(2)本问数学归纳法的运用相对而言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要注意假设条件的恰当运用．[解](1)由已知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即xr≤rx＋(1－r)．①若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立．若a1，a2均不为0，由b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是在①中令x＝a1a2，r＝b1，可得a1a2b1≤b1·a1a2＋(1－b1)，即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.3综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②(2)(1)中命题的推广形式为：设a1，a2，…，an为非负实数，b1，b2，…，bn为正有理数．若b1＋b2＋…＋bn＝1，则ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，③用数学归纳法证明如下：a．当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．b．假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，ak为非负实数，b1，b2，…，bk为正有理数，且b1＋b2＋…＋bk＝1，则ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk.当n＝k＋1时，已知a1，a2，…，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，…，bk，bk＋1为正有理数，且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，此时0bk＋11，即1－bk＋10，于是ab11ab22…abk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1＝ab11－bk＋11ab21－bk＋12…abk1－bk＋1k1－bk＋1·abk＋1k＋1.因为b11－bk＋1＋b21－bk＋1＋…＋bk1－bk＋1＝1，由归纳假设可得ab11－bk＋11ab21－bk＋12…abk1－bk＋1k≤a·b11－bk＋1＋a2·b21－bk＋1＋…＋ak·bk1－bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋1.从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋11－bk＋1abk＋1k＋1.又因为(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋11－bk＋1abk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk－1·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1.故当n＝k＋1时，③成立．由a，b可知，对一切正整数n，所推广的命题成立．[名师点评]解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时要特别关注：一是需验证n＝1，n＝2时结论成立，易忽略验证n＝2；二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧，才能快速正确地解决问题．除此外，应用数学归纳法时，以下几点容易造成失分：1．把初始值搞错；2．在推证n＝k＋1时，没有用上归纳假设；3．对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生的变化被弄错．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x2n＋xn＋c(n∈N*)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．解：(1)证明：先证充分性，若c0，由于xn＋1＝－x2n＋xn＋c≤xn＋cxn，故{xn}是递减4数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2x1，可得c0.(2)(Ⅰ)假设{xn}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn＋1＝－x2n＋xn＋c知，对任意n≥1都有xnc，①注意到c－xn＋1＝x2n－xn－c＋c＝(1－c－xn)(c－xn)，②由①式和②式可得1－c－xn0，即xn1－c.由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有c－xn＋1≤(1－c)(c－xn)．③反复运用③式，得c－xn≤(1－c)n－1(c－x1)(1－c)n－1，xn1－c和c－xn(1－c)n－1两式相加，知2c－1(1－c)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－c)n的性质，得2c－1≤0，c≤14，故0c≤14.(Ⅱ)若0c≤14，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－x2n＋c0，即证xnc对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0c≤14时，xnc对任意n≥1成立．(i)当n＝1时，x1＝0c≤12，结论成立．(ii)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即xnc.因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间－∞，12内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)f(c)＝c，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．故xnc对任意n≥1成立．因此，xn＋1＝xn－x2n＋cxn，即{xn}是递增数列．由①②知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是0，14.