第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.2.3隐函数及其微分法6.2多元函数微分法第6章多元函数微分学6.2.3隐函数及其微分法隐函数及其微分法内容小结思考题一个方程所确定的隐函数及其导数方程组所确定的隐函数组及其导数方程确定的隐函数及求导习例2-5方程组确定的隐函数及求导习例6-116.2多元函数微分法一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数在点的某一邻域内满足),(00yxP;0),(00yxF则方程单值连续函数y=f(x),并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个0),(00yxFy②③满足条件导数两边对x求导yxFFxydd0yF在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxyxxydd则还有例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数0dd,0dd22xxyxxy解:令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续,由定理1可知,1)0,0(yF0①导的隐函数则xyFycos②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求0ddxxy0xFFyxxycosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy0xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyx两边对x求导两边再对x求导yyyycos)(sin2令x=0,注意此时1,0yy)0,0(cosxyyex导数的另一求法—利用隐函数求导定理2.;0),,()3(;0),,()2(;),(),,()1(0000000zyxFzyxFPUzyxFz内有连续偏导数在若.,)2();,(),,(),(0),,()1(0000zyzxFFyzFFxzyxfzyxfzPUzyxF有连续偏导数且连续函数内唯一确定了单值在则注意:(1)证明从略,求导公式推导如下:,0)],(,,[yxfyxF,0xzFFzx,0yzFFzy,0zF又.,zyzxFFyzFFxz则若,02)(xF.,xzxyFFzxFFyx(3)也可求二阶偏导.方程确定的隐函数及求导习例.,04222222xzzzyx求设例.,,),,(5zyyxxzxyzzyxfz求设例例2.设,04222zzyx解法1利用隐函数求导0422xzxzzxzxxz220422xz2)(1xz.22xz求再对x求导解法2利用公式设zzyxzyxF4),,(222则,2xFxzxFFxz两边对x求偏导)2(22zxxxz322)2()2(zxz2zxzx242zFzzxFFxzxz例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF111F)(2zx2F)(2zyzF12确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF已知方程故对方程两边求微分:1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221zyFxFdd21解法2微分法.)dd(2zzyyz)(dzx2F0)(dzy1F2F0xzyyzxFzyx,),,(令2212211,FxzFxzFFx2122211,FFyzyzFFy解法121211111,FxFyxyFFz,)()(21122FyFxxFxFzyxzzx)()(21221FyFxyFyFzxyzzy代入所证等式的左边即可得结论.解法20,xzyyzxF等式两边对x求偏导得：0111,221xzxzxxzyFF0)1()11(221xzxzxFxzyF即xz0)11()1(221yzxFyzyzyF同理可得yz代入所证等式左边即可得结论成立.解法1,),(),,(zxyzzyxfzyxF令,21yzffFx则,21xzffFy,121xyffFzzxFFxz12121xyffyzff;12121xyffyzffxyFFyx;2121yzffxzffyzFFzy21211xzffxyff.12121xzffxyff.,,),,(5zyyxxzxyzzyxfz求设例解法2.,,,为自变量为函数时求yxzxz求偏导得两边对xxyzzyxfz),,(xz)1(1xzf),(2xzxyyzf;12121xyffyzffxz.,,,为自变量为函数时求zyxyx求偏导得两边对yxyzzyxfz),,()1(01yxf),(2yxyzxzf;2121yzffxzffyx.,,,为自变量为函数时求zxyzy求偏导得两边对zxyzzyxfz),,()1(11zyf),(2zyxzxyf.12121xzffxyffzy解法3利用两边全微分也可得到所求.二、方程组所确定的隐函数组及其导数在此举例说明求偏导的方法,方程组确定的隐函数一般有以下几种情形:0),,(0),,(.1zyxGzyxF确定了两个一元函数.0),,,(0),,,(.2vuyxGvuyxF确定了两个二元函数.),(),(),(.3vuzzvuyyvuxx确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由F、G的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即定理3.,0),,,(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF③),(00yx在点的单值连续函数),,(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:0),(),(PvuGFPJ;0),,,(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF,,的线性方程组这是关于xvxu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对x求导得设方程组,0vuvuGGFFJ在点P的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0故得系数行列式同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv方程组确定的隐函数及求导习例.,,,,106yvxvyuxuxvyuyvxu求设例yzxzvuzvuyvux,,,,83322求设例.,0,0,),,(9dxduxzeyezyxfuzxy求且有连续偏导数设例.,0,0,),,(10dxduxyezezyxfuzxy求且有连续偏导数设例.,,,,),(),(112xvxugfyvxugvyvuxfu求偏导数具有一阶连续其中设例解1xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对x求导，并移项得vxvxxuyxvyu22yxvyuxJxv122yxuyvx练习:求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案:由题设故有.,,,,106yvxvyuxuxvyuyvxu求设例解2方程组两边对x求导得00xvxvxuyxvyxuxu,22yxyvxuxu从而22yxxvyuxv.,yvyuy求导可得同理方程组两边对解(1)令0),(),,,(vuxxvuyxF0),(),,,(vuyyvuyxG①式两边对x求导,得uy0xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理3可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②,0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJuyJ1011uyuxJ从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得,1vxJyuuxJyv1,0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJuyJ1011uyuxJ从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得,1vxJyuuxJyv1解2233vuyvuxvuz确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.方程组两边对y求偏导得yvvyuuyz2233yvyu0yvvyuu221.,yzyuyu再代入即得与先求出yzxzvuzvuyvux,,,,83322求设例同样地:求偏导得两边对也可由xvuzvuyvux3322xvvxuuxzxvvxuuxvxu22332201xz解dxdzfdxdyffdxdu321xyxyxyxeyedxdyye10得由xyy12xezdxdzxzezz得由0)1(zxz.)1(13221fzxzfxyyfdxdu.,0,0,),,(9dxduxzeyezyxfuzxy求且有连续偏导数设例解求导可得两边对由xxyezezyxfuzxy00),,(dxdzfdxdyffdxdu3210)(dxdzdxdyxyexy0)(dxdyxydxdzezdxdu.,0,