玻色统计和费米统计

1第八章玻色统计与费米统计26-6.62§8.1热力学量的统计表达式非简并条件有四种：1lla1)2(232hmkTNVe1)2(2323mkThVNn*由于玻耳兹曼系统与玻色系统和费米系统具有粒子可否分辨的差异，微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性影响。因此玻色气体和费米气体的内能和物态方程也有差异。一、几个基本概念1.定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统遵从玻耳兹曼分布。2.满足非简并条件的气体为非简并气体。3.不满足非简并条件的气体为简并气体。3玻色分布：1leall费米分布：1leall∴1leall系统的平均总粒子数为：llllleaN1二、基本热力学量1.系统的平均粒子数引入巨配分函数llleZ]1[∴llleZ)1ln(ln∴])1ln([11lllllllllleeeeNZln42.内能：无规则运动总能量的统计平均值])1ln([llleZln3.物态方程∴外界对系统总的广义作用力为：lllllllllyeeyeayYlll11])1ln([1llleyZyln1∴物态方程为：当pY，Vy时，lllllllllllleeeaU11∴ydydWY广义力为：ZVpln1∴5由熵的定义和热力学第一定律知：)(1)(11YdydUTdWdUTdQTdS∴]ln1)ln([)(dyyZZdYdydUdyyZZdln)ln(由llleZ]1[知，Z是、和y的函数，、Zln也是和y的函数4.熵dyyZdZdZZdlnlnlnln∴6∴dyyZZdYdydUln)ln()(dyyZdZZdlnln)ln(dZZdZdlnln)ln()ln(]ln[ln)ln(ZdZdZdZd因为ZNln∴NdZZZdYdydU]lnln[ln)(∴]lnln[ln)(ZZZdNdYdydU7对于闭系：0Nd∴]lnln[ln)(ZZZdYdydU是YdydU的积分因子，YdydU同样有积分因子T1∴kT1∴]lnln[ln)(1ZZZkdYdydUTdS积分得：][ln]lnln[lnUNZkZZZkS8对于开系，热力学基本方程为：dnYdyTdSdU'因为Nddn)()('单个粒子化学势单位摩尔化学势∴TdSNdYdydU－－与TdSNdYdydU－比较∴kT∴5.玻耳兹曼关系ln)(lnkUNZkS9§8.5金属中的自由电子气体3.把公用电子看作金属内部作自由运动的近独立粒子，电子的集合称为自由电子气。一、自由电子气体1.原子结合成金属后，价电子可以脱离原子在整个金属内运动，成为公用电子。2.失去价电子后的原子称为离子，在空间形成规则的点阵。1e13n或。4.金属中的自由电子形成强简并的费米气体，即1011kTeafdmhVdDd21233)2(4)(1)2(421233kTedmhVfd二、自由电子的费米分布Vd~在体积内，在能量范围内，电子的量子态为Vd~∴在体积内，在能量范围内，平均电子数为：T时，处在能量为的一个量子态上的平均电子数为：温度为(考虑电子的自旋)27-6.13110212331)2(4kTedmhVN1f)0(0f)0(NTV在给定电子数，温度和体积时，总粒子数为：TVNn∴化学势是温度和粒子数密度的函数。)0(表示0K时电子气体的化学势以0TK时的电子分布1.11kTeaf12)0((3)是0K时电子的最大能量。)0()0(021233)2(4dmhVN由下式确定：3222)3(2)0(VNm)0(∴被称为费米能级。T)0()0(说明：(1)在0K时，在的每一个量子态上平均电子数的每一个量子态上平均电子数为0。为1；在0)0(的状态起依次填充至(2)电子从上。mpFF2)0(23122)3(npF令∴Fp是0K时电子的最大动量，称为费米动量。∴mpvFF，称为费米速率13特点：费米气体的绝对零度时，21f21f21f其中的)0(说明：在0TK时，在的每一个量子态上平均电子数大于21；在的每一个量子态上平均电子数小于210TK时的自由电子分布2.熵为零。11kTef知：由14)0(**原因：在0K时，电子占据了从0到的每一个量子态，温度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变。只在费米面附近，数量级为kT的能量范围内，电子的分布与0TK时的分布有差异。158.12室温下某金属中自由电子气体的数密度328m106n某半导体中导电电子的数密度为320m10n。试验证这两种电子；气体是否为简并气体。1e，即13n的情形下费米气体满足非简并条件，1e，即13n的情形下，气体形成解：在遵从玻耳兹曼分布；在强简并费米气体。2323)2(mkThnn因为：sJ10626.634hkg101.931mK/J10381.123k其中的常数为：16把K300T，328m106n代入，11033n说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。说明半导体中的导电电子是非简并气体，用玻耳兹曼统计讨论。K300T，320m10n代入，11053n把178.13银的导电电子数密度为，试求0K时电子气体的费米能级和费米速率。328m109.5解：0K时，金属中自由电子气体的费米能级(电子的最大能量)和费米速度(电子的最大速率)取决于电子气体的密度。将kg101.931msJ10626.634h328m109.5n代入∴费米速度：mvmmpFF22)0(222∴m/s104.1)0(26mvF3222)3(2)0(VNm因为：eV6.5J10876.0)0(18＝其中J10602.1eV119∴188.14试求绝对零度下金属自由电子气体中电子的平均速率v1fFpp0fFpp解：在绝对零度下，自由电子气体中电子动量的分布为：Fp为费米动量，即0K时电子的最大动量d~dmhVd21233)2(4中的电子的量子态数为19∴在dppp~中的电子的量子态数为dpphVd238∴总电子数：FpdpphVdfN0238总动量：FpdpphVdfpp0338总∴FFFpppppdpphVdpphVpFF4331418834023033∴电子的平均速率为：FFvmpmpv4343