人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-平面向量的线性运算-基础

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．5．掌握向量共线的条件．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,ab，在平面内任取一点A，作,ABaBCb，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，即abABBCAC．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,ab，作,ABaADb，则,,ABD三点不共线，以,ABAD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线ACab．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，我们规定00aaa．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231nnnAAAAAAAA特别地，当1A与nA重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110nnnAAAAAAAA2．向量加法的运算律（1）交换律：abba；（2）结合律：()()abcabc要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当,ab不共线时，||||||abab；(2)当,ab同向且共线时，,,abab同向，则||||||abab；(3)当,ab反向且共线时，若||||ab，则aba与同向，||||||abab；若||||ab，则abb与同向，||||||abba．要点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果bxa，则向量x叫做a与b的差，记作ab，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量．（2）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即()abab．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0aa；若a，b互为相反向量，则,0abab．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a，b（如图），作,OAaOBb，则BAab=OAOB,即向量BA等于终点向量（OA）减去起点向量（OB）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出ab．作,,OAaOBbACb，则()OCab，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a(1)||||||aa；(2)①当0时，a的方向与a的方向相同；②当0时.a的方向与a的方向相反；③当0时，0a.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a的几何意义是：a可以由a同向或反向伸缩得到．当||1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的||倍得到a；当0||1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的||倍得到a；当1时，a=a；当1时，a=-a，与a互为相反向量；当0时，a=0．实数与向量的积得几何意义也是求作向量a的作法．3.向量数乘的运算律设、为实数结合律：()()aa；分配律：aaa)(，baba)(要点六：向量共线的条件1．向量共线的条件（1）当向量0a时，a与任一向量b共线．（2）当向量0a时，对于向量b．如果有一个实数，使ba，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用反之，已知向量b与a（0a）共线且向量b的长度是向量a的长度的倍，即||||ba，那么当b与a同向时，ba；当b与a反向时，ba．2．向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使ba，则向量b与非零向量a共线．3．向量共线的性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使ba．要点诠释：（1）两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况；（2）0a是必要条件，否则0a，0b时，虽然b与a共线但不存在使ba；（3）有且只有一个实数，使ba．（4）//(0)ababb是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.【典型例题】类型一：向量加法的几何运算例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）OAOC；（2）BCFE；（3）OAFE．【解析】（1）由图知，OABC为平行四边形，∴OAOCOB（2）由图知BCFEODAO，∴BCFEAOODAD．（3）∵ODFE，∴OAFEOAOD．又OADO，∴0OAFEDOOD．【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（）A．1142abB．2133abC．1124abD．1233ab【答案】B类型二：向量减法的几何运算例2．如图，解答下列各题：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（1）用a，d，e表示DB；（2）用b，c表示DB；（3）用a，b，e表示EC；（4）用d，c表示EC．【答案】（1）dea（2）bc(3)abe（4）cd【解析】∵ABa，BCb，CDc，DEd，EAe，∴（1）DBDEEAABdea．（2）DBCBCDBCCDbc．（3）ECEAABBCabe．（4）()ECCECDDEcd．【总结升华】在本题中，我们看到DB，EC这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．举一反三：【向量的线性运算395568例1】【变式1】O为正六边形ABCDEF的中心，设OAa,OBb，则DE等于（）．（Ａ）ab（Ｂ）ab（Ｃ）ba（Ｄ）ab【答案】Ｂ【变式2】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设ABa，DAb，OCc．求证：bcaOA．【解析】∵bcDAOCOCCBOB，OAaOAABOB，∴bcOAa，即bcaOA．类型三：与向量的模有关的问题例3．已知非零向量a，b满足||71a，||71b，且|a－b|=4，求|a+b|的值．【解析】如图，OAa，OBb，则||BAab．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则||||OCab．由于222(71)(71)4．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用故222||||||OAOBBA，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OCBA，即|a+b|=4．【总结升华】（1）向量a+b，a－b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．（2）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和．因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加法．举一反三：【变式1】若||9AB，||4AC，则||BC的取值范围是多少？【答案】5||13BC【解析】BCACAB．当AB，AC同向时，|||94|5BC，当AB，AC反向时，|||94|13BC；当AB，AC不共线时，5||13BC．类型四：向量的数乘运算例4．（2016河北承德月考）计算：（1）(3)4a；（2）3()2()ababa；（3）(23)(32)abcabc；（4）212()(24)(213)5315ababab．【答案】（1）12a；（2）5b；（3）52abc；（4）0．【解析】（1）(3)412aa（2）3()2()5ababab（3）(23)(32)233252abcabcabcabcabc（4）原式222442655331515ababab22424260000053155315abab．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，a与a同向；＜0时，a与a反向；=0时，a=0；故a与a一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：【变式1】计算：（1）6(3a―2b)+9(―2a+b)；（2）127137(32)236276abababa；（3）6(a―b+c)―4(a―2b+c)―2(―2a+c)．【解析】（1）原式=18a―12b―18a+9b=―3b．（2）127137(32)236276abababa12711332236227aabbaab17732367abab717106262abab．（3）原式=6a―6b+6c―4a+8b―4c+4a―2c=(6a―4a+4a)+(8b―6b)+(6c―4c―2c)=6a+2b．例5.如图所示，ABCD的两条对角线相交于点M，且,,ABaADb用,ab表示,,,.MAMBMCMD【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是,ab，由它可以“生”成,,ACDB.【解析】在ABCD中,,111111,222222ACABADabDBABADabMAACabMBDBab精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用111111,.222222MCACabMDMBDBab【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向