高中数学-4.2.3直线与圆的方程的应用课件-新人教A版必修2

第四章圆与方程第二节直线、圆的位置关系直线与圆的方程的应用1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过__________,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.注意:______________方法的灵活运用.建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.题型一数形结合思想方法的应用例1:(1)方程表示的曲线是什么?(2)若方程有解,求实数b的取值范围.解:(1)等价于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x轴上方的半圆(包括两个端点).29yx29xxb29yx29yx(2)方程有解,即半圆与直线y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3时,方程有解.29xxb29yx229xxb变式训练1若直线与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥11xyab22221111.1.1CDabab≤≥答案:D题型二用坐标法求圆的方程例2:如下图所示,点M是弓形弧的中点,弦|OA|=8,弓形的高为2m,求此弧所在圆的方程.分析:只需要求圆心坐标及半径即可.OMA解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上解得:b=-3,r2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建立的坐标系不同,所求得的方程不同.变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM､PN(M,N分别为切点),使得,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.2PMPN解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知得PM2=2PN2,因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.2,PMPN题型三与圆有关的综合问题例3:已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO内切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从△ABO内切圆的方程入手.解:如下图,建立直角坐标系,使A､B､O三点的坐标分别为A(4,0)､B(0,3)､O(0,0).易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).故内切圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化简为x2+y2-2x-2y+1=0,①设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②由①可知x2+y2-2y=2x-1,将其代入②有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18,三个圆面积之和为∴所求面积的最大值为最小值为222222||||||()()()(||||2224||).PAPBPOPAPBPO11,29.2规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问题,将几何问题转化为代数问题.变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?解:如图所示:以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离而r=3,∴dr,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.1,74xy22|28|283,6547d易错探究例4:已知圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的位置关系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.∵Δ=100-4×25=0,∴两圆只有一个公共点,故两圆相切.44.3xy错因分析:两圆方程联立,Δ=0说明两圆只有一个公共点,此时两圆有可能外切,也有可能内切.正解:把两圆的方程分别配方,化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,∴两圆心坐标C1(-1,-1),C2(3,-4),半径r1=1,r2=4.∴圆心距|C1C2|==5=r1+r2.∴两圆相外切.22(31)(41)技能演练基础强化1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析:直线与圆相切,则∴a2+b2=c2.答案:B22||1.cdab2.已知点A､B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则A､B两点之间的最短距离为()解析:两圆心之间的距离为∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为答案:C.25.252.254.2ABCD2212(20)(51)254,rr254.3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是()A.都是两个点B.一条直线和一个圆C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆解析:x(x2+y2-1)=0x=0或x2+y2-1=0,则它表示一条直线x=0和一个圆x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0(x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示两个圆.因此,选C.答案:C22221515()(),2424xyxy或4.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()解析:设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(-2,0)到直线y=kx的距离为1,∴又∵切点在第三象限,∴答案:C.3.333..33AyxByxCyxDyx2|2|31..31kkk3.3k5.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P､Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为()解析:∵∠POQ=120°,∴点O到直线y=kx+1的距离又答案:A.33.3.22.2ABCD或或1,2d2|001|1,321dkk6.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是___________________.解析:半径则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.|114|22r(x-1)2+(y-1)2=27.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为_____________________.解析:当两圆内切时有=4,∴a=0.当两圆外切时,有∴a=±224a2246,a25.250或8.与圆x2+y2=4切于点的切线方程为__________.解析:圆心(0,0),∴切线的斜率又切点为∴切线方程为即(1,3)P3,OPk3,3k(1,3),33(1),3yx340.xy340xy能力提升9.已知圆C:(x-2)2+y2=2.(1)求与圆C相切,且在x轴､y轴上截距相等的直线方程;(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.解:(1)设横､纵截距相等的切线方程为kx-y=0,与x+y+c=0,则与解得k=±1,c=-4或c=0.故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得化简得点P的轨迹为直线要使|PM|最小,即要使|PO|最小,过O作直线的垂线.∴垂足是所要求的点.2|2|2,1kk|2|2,2c2222[(2)]2,xyxy1,2x12x1(,0)2P10.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的最值;(2)求y-x的最值;(3)求x2+y2的最值.解:(1)∵圆的标准方程为(x-2)2+y2=3,其圆心为(2,0),半径为设即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值.此时解得k=±∴的最大值为最小值为yx3.,ykx2|20|,3,1kk3.yx3,3.(2)设y-x=b,即y=x+b.当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时即b=-2±∴y-x的最大值为最小值为-2-(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识可知,它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,∴x2+y2的最大值为最小值为|20|,3,2b6.26,6.(23)2743,(23)2743.品味高考11.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A､B两点,则|AB|=________.解析:圆心到该直线的距离∴弦长=55.5d222(22)(5)23.2311.(2010·四川理14)直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A､B两点,则|AB|=________.解析:圆心到该直线的距离∴弦长=55.5d222(22)(5)23.2312.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过点A且与圆O相切的直线与坐标轴围成的三角形面积等于________.解析:依题意过点A(1,2)作圆的切线方程为x+2y=5,在x轴上的截距为5,在y轴上的截距为切线与坐标轴围成的面积5,215255.224S254