第三讲-鸟头模型

2013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品1第三讲鸟头模型在之前的共边比例模型（金字塔模型、沙漏模型）的基础之上，本讲第一次介绍共角比例模型之一——鸟头模型.学好共角模型，将有助于加深对面积与长度之间关系的理解，并且能为初中将要学习的三角函数、正弦定理、余弦定理等内容打下基础.【重要知识点】鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比.【点评】根据定义也能够看出：在做题时，不要看到边的比例就相乘、作比，而是应该先找角，再找角的两条夹边，将一个三角形内的夹边的比例份数相乘，再将两个乘积作比.详细证明见下页例1的分析.同时还可看出：根据定义，鸟头模型只要求两个三角形有相等或互补的内角即可，并不要求两个三角形的具体位置，于是有了下面几种常见的鸟头模型的具体图案：常见的鸟头模型图案：相等：平行线对顶角共角互补：周角减去180度双直角（既相等又互补）组成平角【点评】其中最常见的是最左边两个图.课本第一单元的例1就是讨论了共角、对顶角和组成平角这三种情况的最简单的鸟头模型；第一单元例3就是最后一个图的情况，两矩形有1个公共顶点时要记得考虑这种情况；第一单元超常班例题是双直角情况，进一步可拓展为：若一个四边形的四个顶点共圆，则其内部对角互补（初中知识，不要求学生掌握）.【扩展阅读】鸟头模型的本质：若固定一个角，再将这个角的两个夹边的长度固定，易见三角形就随之固定了，换句话说，一个内角的度数和它的两个夹边的长度将决定这个三角形的面积.显然，将夹边拉得越长，三角形的面积越大；张角约接近90度，三角形的面积越大.2013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品2其本质就是初中将要学习的三角函数的一部分内容：sinABCSABACA△；【点评】从这条定理可以看出许多有用的规律（当然，这是初中的定理，不要求学生掌握）：①面积理应是由长度相乘得来；②由于osinsin(180)xx，故知两个有互补内角的三角形，其面积比取决于夹边乘积之比.③由正弦函数的性质，可知张角越接近90度，三角形面积越大；越接近0度或180度，面积越小.【具体题目和方法】【第一单元1】鸟头模型：（1）如左图，三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，2ABAD，3ACAE；请问：三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？（2）如中间图，三角形ABC中，E是AC上的点，D是BA延长线上的点，2ABAD，3ACAE；请问：三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？（3）如右图，三角形ABC中，D、E分别是BA、CA延长线上的点，2ABAD，3ACAE；请问：三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？EDCBAEDCBAEDCBA【答案】6【分析】三道题的证明方法完全相同：连接BE，根据等高模型12ADEABESADSAB△△；同时13ABEABCSAESAC△△，故111236ADEADEABEABCABEABCSSSADAESSSABAC△△△△△△，即三角形ABC的面积是三角形ADE面积的6倍.【点评】把条件中的2、3改为x、y，就将是鸟头模型的一般证明.从证明过程可以看出，鸟头模型是使用两次等高模型得来的，进一步地说：共角模型的基础是共边模型.三道小题的证明方法完全相同，这正是因为鸟头模型的特征是角（相等或互补的角），而不是位置.这一点在第一单元的例3中体现得最为明显.例2对寻找夹边长度给出了相应练习，这一类题目是重要的，在这里提供几道练习题：2013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品3【拓展】以下各个示意图．．．中均有两个三角形，给出了某些线段的长度，请求出小三角形和大三角形的面积比.4321342178655678341243213412587678561234【答案】上4题：12122(41)(32)5525；12121(31)(42)4612；56565(57)(68)121428；123412343(1256)(3478)6811256；下4题：12121(13)4448；21211(24)3639；67673(68)51455；3412341234(3456)789078585【点评】注意某些夹边需要将已知线段长度相加；注意在计算时一定要先约后乘.【第一单元3】（2）如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成.问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？【答案】一样大【分析】本题即为例3（1）的多次重复；每一个红色三角形，均和与其有公共顶点的青色三角形构成有互补内角的鸟头模型，其面积相等，故知SS红青.【基础、提高作业3】如图，已知三角形ABC面积为1，分别延长AB、BC、CA至D、E、F，使BDAB，CEBC，AFAC，求三角形DEF的面积.FEDCBA12013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品4【答案】7【分析】这道题是对应第二单元例2的作业.由鸟头模型，2DBEABCSBDBESBABC△△，故22BDEABCSS△△，同理可得2CEFAFDSS△△，所以22217DEFBDECEFAFDABCSSSSS△△△△△.【点评】这道题是多个鸟头的组合形状的问题，单看每一个鸟头时，不要考虑其他的鸟头，甚至可以将对这个鸟头无用的线段暂时擦去，这种分离图形思想是解组合形状几何题的重要思想.当然，本题有非常良好的旋转对称性质，外围的3个三角形地位是平等的，其生成条件的比例关系完全相同，所以它们的面积一定是相同的.在第十二讲，将会讲授小学阶段的另一个比例模型：燕尾模型.把下一题与本题作比较，将能看出燕尾题型与鸟头题型的区别与联系.【拓展】如图，已知三角形ABC的面积为1，12DCEAFBDBECFA，则三角形GHI的面积为；IHGFEDCBA【分析】题目条件也是轮换对称的，故可知AHBBICCGASSS，下求AHBS：如下图分离图形，只找出对求AHBS有帮助的线段，省略无用线段，再连接辅助线HC，则图中将会出现燕尾模型.HFEDCBA12621HEDCBA设三角形AHE的面积为1份，则根据等高模型，三角形CHE的面积为2份，故三角形AHC的面积为123份；燕尾ABHC中，21AHBAHCSBDSDC，故三角形AHB的面积为326份；燕尾ABCH中，12AHBBHCSAESEC，故三角形BHC的面积为6212份；所以三角形ABC的面积为361221份，621217AHBS；同理，27BICCGAAHBSSS，故211377GHIS.【点评】两道题目图形非常相像，甚至结论都是:1:7SS小大，但两者还是有很多区别的：鸟头的线段比例条件往往在图形内部，并且常给出目标三角形的边长倍数或比例；燕尾的线段比例条件往往在最外围三角形的边长上，并且常不给出目标三角形的边长比例条件，但图形中常出现三线共点.