导数第一节讲解练习

§3.1导数的概念及其运算1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为____________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为________.2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝______________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝______________.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__________处的____________.相应地，切线方程为__________________.3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝____________f(x)＝lnxf′(x)＝________5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________；(3)fxgx′＝______________________(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积.[难点正本疑点清源]1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0).这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数.2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.1.f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________.2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.3.已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.4.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________.5.已知曲线y＝14x2－3lnx的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为()A.－3B.2C.－3或2D.12题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.探究提高求函数f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2.题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.求下列各函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－sinx21－2cos2x4；(4)y＝11－x＋11＋x；(5)y＝cos2xsinx＋cosx.例3求下列复合函数的导数：(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5).探究提高由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.求下列复合函数的导数：(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝lnx2＋1；(3)y＝xe1－cosx；(4)y＝11－3x4；(5)y＝x1＋x2.题型三导数的几何意义例4已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程.探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标.(2)切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值.1.一审条件挖隐含试题：(12分)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值.审题路线图C1与C2有交点↓(可设C1与C2的交点为(x0，y0))过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数↓(导数的几何意义)利用导数求两切线的斜率：k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a↓等价转换(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1①↓(交点(x0，y0)适合解析式)y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b，即2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②↓注意隐含条件方程①②同解a＋b＝52↓消元ab＝a52－a＝－a－542＋2516↓当a＝54时，ab最大且最大值为2516.规范解答解(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，[1分]对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，[2分]设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直.∴(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，即4x20－2(a＋2)x0＋2a－1＝0①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b⇒2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②由①②消去x0，可得a＋b＝52.[7分](2)由(1)知：b＝52－a，∴ab＝a52－a＝－a－542＋2516.[10分]∴当a＝54时，(ab)最大值＝2516.[12分]点评本题的切入点是：两曲线有交点(x0，y0)，交点处的切线互相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.失误与防范1.利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.3.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.§3.1导数的概念及其运算(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－9B.－3C.9D.152.已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于()A.e2B.eC.ln22D.ln23.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0二、填空题4.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则f′π4＝_______________.5.已知函数f(x)，g(x)满足f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(x)＝1，则函数y＝fx＋2gx的图象在x＝5处的切线方程为________________.6.设点P是曲线y＝x33－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是______________.三、解答题7.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.8.如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.B组专项能力提升题组一、选择题1.(2011·湖南)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A.－12B.12C.－22D.222.(2011·大纲全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.13.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2012的值为()A.20092010B.20112012C.20102011D.20122013二、填空题4.设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是______________.5.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是____________.6.曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________.三、解答题7.设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.答案要点梳理1.fx2