数值分析典型习题

1特别声明：考试时需带计算器作辅助计算1．2015x*=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差*re-31104.2.01(),(),,()nlxlxlx是以01,,,nxxx为节点的拉格朗日插值基函数，则3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f=,f=,f=,f=，[0123]f=，，，13.4.利用Simpson公式求212dxx=7.35.设求积公式100()d(),(1)nkkkfxxAfxn=是Gauss型求积公式，则30nkkkAx1.46.数值微分公式(2)(2)()iiifxhfxhfxh的截断误差为2().Oh7.设1101A，则A的谱半径()A1，A的条件数1cond()A=4.8.用牛顿下山法求解方程303xx根的迭代公式是2133(1),3nnnnxxxxx下山条件是1()().nnfxfx9.对任意初始向量(0)x及任意向量f，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)kkkxBxf，迭代序列()kx收敛于方程组的精确解x的充分必要条件是()1.B10.应用幂法迭代公式(+1)()kkAx=x当k充分大时有pq()(1)()，k+2k+kxxx++0则A的按模最大的特征值1,2λ=24.2ppq11.设数据12,xx的绝对误差分别为0.005和0.002，则12xx的绝对误差约为（D）A.0.005B.0.002C.0.003D.0.00712.对于多项式2012()nnnPxaaxaxax在某点0x处函数值的秦九韶算法基于如下公式：算法计算的始点为na，而这一算法的优点在于（C）A.精度高B.计算量小C.精度高，且计算量小D.既收敛又稳定13.给定数据0x1x2x……nx2)(0xf)(1xf)(2xf……)(nxf由它们所确定的Lagrange多项式与Newton多项式，以下说法正确的是（C）A.从数值算法上讲，它们是不同的，不过,一般而言,后者计算结果精度会更高B.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是相同的,只是后者计算更灵活C.从数值算法讲它们不同，但数学意义上讲它们却是相同的D.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是不同的14.利用求解方程0)(xf根的牛顿迭代法公式为)()(1nnnnxfxfxx。利用这一方法进行求解时，迭代所用初始点的选取很关键，以下最好的说法是（B）A.对于单重根是局部二阶收敛的，初始点应选取较接近于根的值，但不一定收敛B.它是局部二阶收敛的，初始点选用较接近于根的值即收敛C.对于单重根是二阶收敛的，初始值0x任意选取D.对于多重根是超线性收敛的，且初始点0x任意选取15．求解方程0)(xf时，可将方程变形而得到迭代格式)(1nnxx，当迭代格式)(1nnxx中函数)(x满足（D）条件时，这一迭代格式必收敛。A.1)(xB.1)(xC.1)(xD.()1x16.求矩阵特征值与特征向量的幂法与反幂法，分别可以用于求矩阵的（A）A.按模最大特征值与最小特征值，及其对应特征向量B.所有特征值及其对应特征向量C.按模最大特征值及其对应特征向量D.按模最小特征值及其对应特征向量17．求解微分方程初值问题数值解的改进的欧拉折线法，其局部截断误差的阶是（B）A.1B.2C.3D.418.已知n对观测数据nkyxkk,...,2,1),,(,这n个点的拟合直线01yaxa，10,aa是使（D）最小的解。A.nkkkxaay110B.nkkkxaay110C.)(2110knkkxaayD.2101)(axayknkk19.若复化梯形公式计算定积分dxex10,要求截断误差的绝对值不超过4105.0，则n（A）A.41B.42C.43D.4020.已知函数)(xfy的数据表302513690xy，则)(xfy的拉格朗日插值基函数)(2xl（A）A.)15)(25(5)1)(2(xxxB.)10)(50)(20()1)(5)(2(xxxC.)12)(52(2)1)(5(xxxD.)51)(21(1)5)(2(xxx21.求解初值问题00')(),,(yxyyxfy的近似解的梯形公式是1ny（A）A.)],(),([211nnnnnyxfyxfhyB.)],(),([211nnnnnyxfyxfhyC.)],(),([211nnnnnyxfyxfhyD.)],(),([21nnnnnyxfyxfhy22.下面（D）不是数值计算应注意的问题A.注意简化计算步骤，减少运算次数B.要避免相近两数相减C.要防止大数吃掉小数D.要尽量消灭误差23.对矩阵特征值满足12n情况，幂法收敛速度由比值12r确定，r越小收敛速度（A）A.越快B.越慢C.不变D.不确定24.令00x，11x，写出xexy)(的一次插值多项式)(1xL，并估计插值余项。解：由1)(000exyy，111)(exyy可知，xexexxexxxxxyxxxxyxL)1(1)1(0101011)(111010110101，余项为1,0),1(2))((!2)()(101xxexxxxfxR，故8141121)1(maxmax21)(10101xxexRx25.已知函数()yfx的相关数据0123012313927由牛顿插值公式求三次插值多项式3()Px，并计算13()2P的值近似值。（注：要求给出差商表）解：差商表001224/341231233927686由牛顿插值公式：26.给出计算222x的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,并证明2x。解：由题意可得出其迭代格式为12.kkxx02kx且当02x时，1()1,22xx所以迭代格式是收敛的.由1limkkxx可得，2.xx22()2,()20.xxxx解得：121,2.xx其中110x舍去。可得2.x即解得2.x27.应用紧凑格式的Doolitte分解（即LU分解）法求解方程组：7173530103421101002014321xxxx。解：由紧凑格式的Doolitte分解（略）得：1011210101L及1020101212U，于是求解7173510101211014321yyyy可得46354321yyyy，求解463521210102014321xxxx可得22114321xxxx。28.设方程组3103220241225321321321xxxxxxxxx，(1)考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；(2)写出雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组的迭代格式。解：(1)由系数矩阵1032241125为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为2,3,4321xxx](2)使用雅可比迭代法：5103551201035121041515203201210141510322011201014151)()()(1)(1)1(kkkkxxbDxULDx，使用高斯-赛德尔迭代法：29.写出求解线性代数方程组的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。解：方程组的Gauss-Seidel迭代格式为其迭代矩阵为其特征方程为解之得谱半径26()121GB，故迭代发散.29.已知012113,,,424xxx(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424fxdxAfAfAf；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120xdx。解：(1)所求插值型的求积公式形如：故101113()[2()()2()]3424fxdxfff。（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将34(),fxxx代入上述公式，可得故代数精度是3次。（3）由2）可得：12222011131[2()()2()]34243xdx。30.见教材P67例4.1.1。31.用Romberg方法计算31dxx,写出计算过程并将结果填入下表(*号处不填).0*********1******22.793062.797342.79740***32.7963432.单原子波函数的形式为bxaey，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：6X0124y2.0101.2100.7400.450解：对bxaey两边取对数得bxaylnln，令yYln，aAln，则拟合函数变为bxAY，所给数据转化为X0124y0.69810.1906-0.3011-0.7985取1)(0x，xx)(1，则41)(),(4100ixx，7)(),()(),(410110iixxxxx，21)(),(41211iixxx，而2109.0)(),(410iiyxyx，6056.3)(),(411iiiyxxyx。故法方程为6056.32109.021774ba，解得3699.05946.0bA。因而拟合函数为xY3699.05946.0，原拟合函数为xxeey3699.03699.05946.08123.1。33.利用改进的欧拉方法求解初值问题，其中步长0.2h,0,1(0)1.yyxxy。解：