正弦定理、余弦定理知识点

1正弦定理、余弦定理1.三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝21absinC＝21bcsinA＝＝21casinB；2．三角形中的边角不等关系:ABab,a+bc,a-bc；；3．正弦定理：Aasin＝Bbsin＝Ccsin＝2R（外接圆直径）；正弦定理的变式：CRcBRbARasin2sin2sin2；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角．②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角babaabaB1BACACABCB2a=bsinAbsinAabab一解两解一解(2)A为锐角或钝角当ab时有一解.5．余弦定理a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．2知识点1运用判断三角形形状例题1在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0，sin(A-B)=0A-B=0∴A=B即△ABC为等腰三角形解法2:由余弦定理:22222222bcacbbacbcaa22ba∴ba即△ABC为等腰三角形.巩固练习1．在中，若2222sinsin2coscosbCcBbBC，试判断三角形的形状．2．在ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断这个三角形的形状.33．已知ABC中，有cos2cossincos2cossinACBABC，判断三角形形状.知识点2运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2在△ABC中，已知3a，2b，B=45求A、C及c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin3sinsinbBaA∵B=4590即ba∴A=60或120当A=60时C=7522645sin75sin2sinsinBCbc当A=120时C=1522645sin15sin2sinsinBCbc解法2：设c=x由余弦定理Baccabcos2222将已知条件代入，整理：0162xx解之：226x当226c时2)13(231226223)226(22cos2222bcacbA从而A=60，C=75当226c时同理可求得：A=120C=15.4巩固练习1．已知在ABC中，2,6,45BCABA，试解该三角形．在ABC中，213,2tantancbbbcBA，求三内角A、B、C．2．在ABC中，已知BCA2，32tantanCA，求A、B、C的大小，又知顶点C的对边C上的高等于34，求三角形各边a、b、c的长．ACBa450bc5知识点3解决与三角形在关的证明、计算问题例题3已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值．【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C．【答案】ABC、、为锐角0270°°ABC又，，由公式可得tantanAB12tan()tantantantanABABAB112123tan()tan()ABCABCtan()tantan()tanABCABC133133()=0所以A+B+C=πsinsinsinsincoscoscoscos2222221336221336(coscossinsin)25936cos()cos()5972巩固练习1．在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C=3,求sinB的值.62．在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值．3．在ABC中，若4,5ba且3231)cos(BA，求这个三角形的面积．7例题4在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,证明:CBAcbasin)sin(222.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得CABCBAcba2222222sin22cos2cossinsinsin=CABAB2sin2)sin()sin(2=CBAC2sin)sin(sin=CBAsin)sin(.证法二:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则222cba=22cos2cAbcc=1-cb2∙cosA,又由正弦定理得cb=CBsinsin,∴222cba=1-CBsinsin2∙cosA=CABCsincossin2sin=CABBAsincossin2)sin(=CABBAsincossincossin=CBAsin)sin(.证法三:CBAsin)sin(=CABBAsincossincossin.由正弦定理得cbCBcaCAsinsin,sinsin,∴CBAsin)sin(=cAbBacoscos,又由余弦定理得CBAsin)sin(=cbcacbbacbcaa22222222=22222222)()(cacbbca=222cba.巩固练习1．已知锐角三角形ABC中，3sin()5AB，1sin()5AB.（1）求证tan2tanAB；（2）设3AB，求AB边上的高．8参考答案课堂互动例题1巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sinsinsinabcRABC，R为外接圆的半径，将原式化为22228sinsin8sinsincoscosRBCRBCBC，sinsin0BC，sinsincoscosBCBC.即cos()0BC,90BC，90A.故为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos)(1cos)2coscosbCcBbBC，由余弦定理可得22222222222222abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab，即22bc22222222()()4abcacba也即222bca，故为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得AAbBBacossincossin22,由正弦定理得AABBBAcossinsincossinsin22,∵sinAsinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A=1800-2B,即A=B或A+B=900.∴ABC是等腰三角形或直角三角形.解法2:由已知得AAbBBacossincossin22,由正弦定理得AabbacoscosB22,即AbacoscosB,又由余弦定理得bcacbba22acb-ca222222,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b,或a2+b2=c2,∴ABC是等腰三角形或直角三角形.3．解：由已知得9例题2巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin26sinC因3226sinAAB6,2ABBC由623，则有二解，即60C或120C754560180B或1545120180B故13sinsinACBABCAC或13AC，15,120BC75,60BC解法2：令AC=b，则由余弦定理222245cos62)6(bb1302322bbb又Cbbcos222)6(22260,21cosCC或120C75)6045(180B或15)12045(180B.2【答案】由已知有bcBA21tantan，化简并利用正弦定理：BCBABABAsinsin2sincossincoscossinBCBABAsinsin2sincos)sin(0cossin2sinACC由0sin，故6021cosAA由213cb，可设kckb2,)13(，由余弦定理，得kakkka6)13(24)13(22222由正弦定理CcAasinsin得226232sinsinkkaAcC由bc则C是锐角，故75180,45CABC3．【答案】由已知，得2CAB，又由180CBA60B故4160cossinsin2CA①又由BcaSABCsin2134164334acac②故64)sin()sin(sinsin22CcAaCAac8sinsinCcAa由3460sin8sin8sinsinBABab则21260coscos222acbcaB即964848)(3)(222caacbca64ca③把③与②联立，得)26(2),26(2ca或)26(2),26(2ca104．【答案】由已知BCA2，及120,60180CABCBA由CACACAtantan1tantan)tan(及32tantan,3)tan(CACA得33tantanCA，以CAtan,tan为一元二次方程032)33(2xx的两个根，解方程，得32tan1tanCA或1tan32tanCA7545CA或4575CA若75,45CA，则860sin34a，6445sin34b，)13(445sin75sin8sinsinACac若45,75CA，则60sin34a75sin34,8b)13(64)623(4)13(8sinsinBCbc例题3巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin2CAcos2CA=2sinB.由A+B+C=π得sin2CA=cos2B.又A-C=3,得2cos23B=sinB.∴2cos23B=2sin2Bcos2B,∵02B2,∴cos2B≠0,∴sin2B=43.∴cos2B=2sin12B=413,∴sinB=2sin2Bcos2B=2∙43∙413=839.2．【答案】（I）成等比数列又在中，由余弦定理得（