高等数学定积分应用

第-35–页第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节定积分的元素法1课时第二节定积分在几何学上的应用3课时第三节定积分在物理学上的应用2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法6.1定积分的微小元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积Abaniiidxxfxf)()(lim10面积元素dA=dxxf)(2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成n个部分，这n个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。三、作业356．2定积分在几何中的应用Yy=f(x)x0=ax1x2x3xn=bX第-36–页一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA=dxxx)]()([12，面积A=xxxbad)]()([12第一步：在D边界方程中解出y的两个表达式)(1xy，)(2xy.第二步：在剩下的边界方程中找出x的两个常数值ax，bx；不够时由)(1x)(2x解出，bxa，)()(21xyx，面积S=xxxbad)]()([12方法二面积元素dA=dyyy)]()([12，面积A=yyydcd)]()([12第一步：在D边界方程中解出x的两个表达式)(1yx，)(2yx.第二步：在剩下的边界方程中找出y的两个常数值cy，dy；不够时由)(1y)(2y解出，dyc，)()(21yxy，面积S=yyydcd)]()([12例1求22xy，12xy围成的面积解1222xyxy，1222xx，1x，3x。当31x时1222xx，于是面积31313223210)331()]2()12[(xxxdxxx例2计算4,22xyxy围成的面积解由25.0yx，4yx得，4,2yy，当42y时45.02yy面积=422]5.04[dyyy=18。2、在曲边梯形)(xfy、0y、ax、bx（baxf,0)(）中，如果曲边)(xfy的方程为参数方程为)()(tytx，则其面积dxyAba=dttt)(')(，其中)(),(ba例3求x轴与摆线)cos1()sin(tayttax,20t围成的面积y)(2xyD)(1xyaxbXYd)(1yx)(2yxyDcx第-37–页解面积202)cos1(dtta202)22cos1cos21(dttta202)22cos1sin223(ttta23a例4星形线taytax33sincos(0a)围成的面积.解面积adttttaydx002232)sin)(cos3(sin44=20364283)sin(sin12adttta3、极坐标系下计算平面图形的面积。极坐标曲线)(围成的面积的计算方法：解不等式0)(，得到。面积=d2)]([214、平行截面面积为已知的空间物体的体积过x轴一点x作垂直于x轴的平面，该平面截空间物体的截面面积为)(xA，bxa,则该物体的体积dxxAVba)(例1一空间物体的底面是长半轴10a，短半轴5b的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。解截面面积)1001(2533221)(2xyyxA1010325)(dxxAV1010233100)1001(dxx5、旋转体体积在],[ba上0)(xf，曲线)(xfy、直线0,,ybxax围成的曲边梯形1）绕x轴旋转一周形成旋转体，其截面面积)()(2xfxA，旋转体体积badxxfV)(2。2）绕y轴旋转一周形成旋转体：位于区间[x,x+dx]上的部分绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积)()()(22xfxxfdxxvdxxxf)(2，原曲边梯形绕y轴旋转一周形成的旋转体体积dxxxfVba)(2。例2摆线)cos1()sin(tayttax)20(t与x轴围成的图形1）绕x轴旋转形成的旋转体体积dxyVa220dtta3320)cos1(3ayx第-38–页dtttt)coscos3cos31(3220=225a2）绕y轴旋转形成的旋转体体积2220ydxxVadtttta2320)cos1)(sin(=dttta2203)cos1([2])cos1(sin220dttt336a3）绕ay2旋转形成的旋转体的截面面积)4(])2()2[(22yayyaa。绕ay2旋转形成的旋转体体积dxyayVa)4(20dtttta)cos1)(cos3)(cos1(320dtttta)coscoscos53(32203327a例3求心形线)cos1(4与射线0、2/围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积解心形线的参数方程为x)cos(cos42，)cos1(sin4y，旋转体体积dxyV280=d)cos21(sin)cos1(sin642202/=1606、平面曲线的弧长曲线方程自变量的范围弧微分22dydxds弧长dssba显函数)(xfybxadxxfds)('12dxxfsba)('12参数方程)()(tyytxxtdttytxds)(')('22dttytxs)(')('22极坐标)(rrdrrds22'drrs2'2表中当)(rr时，cosrx，sinry，sin)(cos)(''rrx，cos)(sin)(''rry，弧微分dyxds22''drr22'。例1求摆线)cos1()sin(tayttax)0)(20(at的长解dttadx)cos1(，tdtadysin，adttadydxds2)1cos21(222dtt2sin。弧长atadttas82cos42sin22020yAOa2xyy=2aOa2x第-39–页yx例2摆线)cos1()sin(tayttax上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标解设A点满足要求，此时ct。根据例2摆线第一拱成弧长a8，ads2dtt2sin。由条件弧OA的长为a2，即adttac22sin20,32c,点A的坐标为)23,)2332((aa例3求星形线323232ayx的全长解星形线的参数方程为taytax33sincos,20t,tdttadxsincos32,tdttady2sincos3，ttttads4224sincossincos3dtttadt|cossin|3.弧长atdttas6cossin3420at6sin202。例4求对数螺线2e上0到2的一段弧长解22'e，弧长ds2'220=de2205=)1(254e二、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积三、作业同步训练35、36、37一直角坐标的情形定理1：由两条连续曲线)(),(21xfyxfy,)()(21xfxf以及直线x=a,x=b所围平面图形的面积为：dxxfxfAba))()((12证明：有微小元素法：dxxfxfdA))()((12,则badxxfxfA)]()([12注意：第-40–页1．从几何意义容易看出babadxxfdxxfA)()(122．若无)()(21xfxf这一条件，则面积badxxfxfA|)()(|123．同理，曲线),(),(21ygxygx与y=c,y=d所围区域的面积为dcdyygygA)]()([12，其中)()(21ygyg例1：求抛物线3x4xy2及其点)3,0(和)0,3(处的切线所围成图形的面积解：4x2yK在)3,0(点处，4K1，切线方程3x4y在)0,3(点处，2K2，切线方程6x2y6x2y3x4y得交点3,23dxxxxS2302)34(34dxxxx3232)34(6232322302)96(dxxxdxx498989定理2：若平面曲线由参数方程给出，))((),(21ttttytx且)(),(tt在[21,tt]连续，0)(t，则曲线与x=a,x=b以及x轴所围的曲边梯形的面积为：第-41–页battdtttdxxfA21)(|)(||)(|例1．求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0)的一拱与x轴所为的面积解：22220203)cos1(])sin()[cos1(adttadtttataA二极坐标的情形定理3：设曲线)(r且)(在[,]上连续，非负2则有曲线)(r与射线,所围区域（称为曲边扇形）的面积为：dA)(212证明：又微小元素法[d,]上的面积微元是：ddA)(212，所以dA)(212例1、求双纽线2cos22ar所围的平面图形的面积。解：4543,44,02cos,02r又由图形的对称性以及公式有：2442442|2sin212cos212aadaA例2、求由曲线2cos,sin22所围图形公共部分的面积第-42–页解：两曲线的交点65,22,6,2260462d2cos21dsin2212Sd)2cos1(60+46d2cos21362sin212sin214660体积一．平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（bxa）是截面积的函数，且在[a,b]上连续，则立体V的体积为badxxAV)(证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：badxxAV)(例1：求由圆柱面222222,azxayx所围立体的体积解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x点（ax0）且垂直于x轴的平面与该立体的截