层次分析法的基本原理和步骤

3-1层次分析法的基本原理和步骤3-2模糊层次分析方法AHPmodelanditsapplication2/5625April2020一、递阶层次结构建立1.1、递阶层次结构及组成二、构造比较判断矩阵四、层次总排序前言1、背景知识2、基本思想与建模步骤1.2、四个注意点2.1、两两比较法2.2、比较判断矩阵的四个说明3.1、单准则下的排序三、单准则下的排序及一致性检验3.2、一致性的检验4.1、层次总排序的步骤4.2、总排序一致性检验五、判断矩阵的调整六、群组决策6.1、比较判断矩阵综合法6.2、权重向量综合排序法3/5625April2020人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等各方面加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有m个单位可供选择，你会选择哪一个？随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交互作用变得越来越强烈和越来越重要。许多问题由于结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决。1、背景知识4/5625April2020由美国运筹学家T.L.saaty教授在70年代中期提出的层次分析法（AnalyticHierarchyProcess）简称AHP，是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法.这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法。5/5625April2020层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的70年代初期，1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防部研究“应急计划”中，充分注意到了当前社会的特点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表了“用于排序和计划的特征根分配模型”。之后，Saaty教授又发表了一系列关于AHP应用方面的文章。1977年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。同年，Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模——层次分析理论”,从此,AHP方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和应用。6/5625April2020AHP的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下几个方面：⑴经济与计划;⑵能源政策与资源分配;⑶政治问题及冲突;⑷人力资源管理;⑸预测;⑹项目评价;⑺教育发展;⑻环境工程;⑼医疗卫生;⑽企业管理与生产经营决策;⑾会计;⑿军事指挥，武器评价.以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内，又有许多不同的应用。7/5625April20202、基本思想与建模步骤层次分析法的基本思路与人们对复杂的决策问题的思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后进行逐一比较、判断，从中选出最优的方案。运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤:⑴建立递阶层次结构；⑵构造比较判别矩阵；⑶在单准则下的排序及一致性检验；⑷总的排序选优。8/5625April2020层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。引例大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位可供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、比较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路，我们可以得到这样的分析图（见图3-1）。1.1、递阶层次结构及组成9/5625April2020满意的职业专业对口发展潜力单位名气地点收入单位1单位2单位3单位4图3-1最佳职业的递阶层次结构10/5625April2020在AHP方法中，首先要建立决策问题的递阶层次结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组，并把它们的共同特征看成是系统中高一层次的一些因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方案层所组成的递阶层次结构。在图3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递阶层次结构。典型的递阶层次结构见下面图3-2。11/5625April2020层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称为目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达到目标或理想的结果；中间层为准则层，层中的元素为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度，分为准则层、子准则层；最低一层为方案层，这一层包括了实现目标可供选择的方案。在递阶层次结构中，各层均由若干因素构成。当某个层次包含因素较多时，可将该层次进一步划分成若干子层次。通常应使各层次中的各因素支配的元素一般不超过9个，这是因为支配元素过多会给两两比较带来困难。12/5625April2020决策目标准则1准则2准则3准则m子准则1子准则2子准则n………………………………………………………………方案1方案2方案3方案t图3-2典型递阶层次结构目标层准则层方案层13/5625April2020⑵整个结构不受层次限制；一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：⑴从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系；⑶最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一般不超过9个。元素过多可进一步分层；⑷对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。1.2、四个注意点14/5625April2020递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环，从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可参阅其他文献。15/5625April2020在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假设以上一层次元素C为准则，所支配的下一层次的关系为u1,u2,…,un，我们的目的是要按它们对于准则C相对重要性赋予u1,u2,…,un相应的权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的考试成绩、某工程的投资额……。但在大多数社会经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法。2.1、两两比较法16/5625April2020两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素C作为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣）的认识。aij的取值一般取正整数1—9（称为标度）及其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。关于aij取值的规则见表3-1。表3-1元素aij取值的规则元素标度规则aij1以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，具有同样重要。3以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，i比j稍微重要。5以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比，i比j明显重要。7以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比，i比j强烈重要。9以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，i比j极端重要。17/5625April2020比较判断矩阵的特点：aij取值也可以取上述各数的中值2，4，6，8及其倒数，即若因素i与因素j比较得aij，则因素j与因素i比较得1/aij。;0)1(ija;/1)2(jiijaa.1)3(iia)......,2,1,(nji.1...11...............11...121212112为比较判断矩阵即nnnnaaaaaaA具有上述三个特点的n阶矩阵称为正互反矩阵。18/5625April202014/15/16/17/1412/13/135215/1363513/173/13/131A在引例的图3-1中,以满意的职业为准则(C),支配着5个因素:对专业对口(u1)、发展潜力(u2)、单位名气(u3)、地点(u4)、收入(u5)五个因素作出成对比较，得到比较判断矩阵仔细分析比较判断矩阵A可以发现，既然u1与u2之比为1:(1/3),u1与u3之比为1:3,那么u2与u3之比应该为1:9,而不是1:5，这样才能说明问题是合理的。也就是中的所有的的元素aij必须具有传递性，即aij满足等式：aijajk=aik，i,j,k=1,2,…,n。19/5625April2020定义3.1.1设n阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵,若对于一切i,j,k,都有aijajk=aik,i,j,k=1,2,…,n,称A为一致矩阵.由比较判断矩阵A知，在对n个因素比较中，我们只要作n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这n(n-1)/2次断矩阵A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵A一定要满足一致性.关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一步说明：2.2、比较判断矩阵的四个说明20/5625April2020⑴为什么要用两两比较？涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了1—9比例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时，用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在相邻两级中再插入一级，正好9级，用9个数字来表达就够用了。⑵为什么要用1—9比例标度？21/5625April2020一般地在一个准则下被比较的对象不超过9个,是因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人的判断能力。最多大致在7±2范围，如果以9个为限，用1—9比例标度表示它们之间的差别正合适。⑶为什么要限制比较个数不超过9?⑷为什么要比较n(n-1)/2次?最后，在把n个因素与某个因素进行比较时,有人认为只需要进行n-1次就可以了。这种做法的弊病在于，任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不同角度进行比较，以得到一个合理的排序。22/5625April2020例1某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如图3-3所示，对之构造比较判断矩阵。选购电视机品牌耗电量厂家信誉售后服务清晰度外形价格尺寸ABCD23/5625April