列紧性

列紧性引入：致密性定理（weierstrass定理）一维：有界数列必有收敛子数列。有穷维空间：有界无穷集合必有收敛子列。问题：在一般的度量空间中是否成立？无穷维空间中不成立！定义：（有界集）设(,)X是距离空间，AX，若0,0,..xXrst00(,){|(,)}ABxrxXxxr则称是有界集。A注：有界集，即被有限半径的球覆盖。AA例：([0,1],)C，01((),())max|()()|txtytxtyt，令01,1,2,1,1.ntnxtnnttn，即011,1,2,1,01.nntxtnnttn，1011nxt则，且[0,1]nxC(0,1)nBx（因为01max|()|1ntxt）但{}nx没有收敛子列。事实上若，当0{}{},..[0,1]kknnnxxstxxCk函数列{}knx一致收敛于0()xt，[0,1]t所以当时0t0(0)lim(0)1knkxx当时0t10()lim()0knkxtxt从而1,..1,kknsttn有00=0,[0,1]1,01.txtCt，定义1.3.1（列紧）设(,)X是距离空间，，若中任意子列在AXAX中都有收敛子列，则称为列紧集；若中任意子列都收敛到中的点，则称为自列紧集；若AAAAX是列紧的，则称X是列紧空间。注：1、列紧A0{},{}{},..kknnnnxAxxstxxX2、自列紧=列紧性+闭性3、列紧空间=自列紧空间！如：，，[0,1]X(0,1)A1(0,1)nxn，，即非自列紧集。0(0,1)nxA命题1.3.2在中任意有界集是列紧集，任意有界闭集是自列紧集。n证：在中任意有界集是列紧集。由weierstrass定理显然成立！n任意有界闭集是自列紧集。由自列紧=列紧性+闭性显然。n命题1.3.3列紧空间的任意（闭）子集都是（自）列紧集。证：由定义显然。命题1.3.4列紧空间是完备空间。(,)X列紧(,)X完备0000{}{}{},..,(,)(,)(,)(,)0{}(,)kkkknnnnnnnnnnxXxxstxxXkXxxxxxxxxxXX任取基本列列紧收敛，且故完备。证：由于距离空间中，点集的有界性并不能保证它的列紧性。需要引进完全有界。定义1.3.5(—网)设(,)X是距离空间，MX，若0,,NM对,,xMyN使得(,xy)，则称是NM的网；当是有穷集（个数与N有关），称是NM的有穷网。注：1、(,)(,)xyxBy（局部观点）2、是NM的网0,(,)yNMBy有（整体观点）3、是NM的有穷网M是有界集定义1.3.6（完全有界）若0，集合M都存在一个有穷网，则称M是完全有界的。注：M完全有界M是有界集如121{0,,,,}[0,1]nBnnn，2n，B是的有穷[0,1]网，从而完全有界。[0,1]定理1.3.7（Hausdorff）设(,)X是距离空间，MX（1）若M在X中列紧M完全有界Mx2（2）设(,)X完备，若M在X中列紧M完全有界x1证：（1）反证法设M不是完全有界，则M不存在有穷网即00,任意的有穷子集，有NM(,)\(,)yNyNMByMBy取1{},NxM21\(,),..xMBxst210(,)xx对12{,},NxxM31020\((,)((,),..xMBxBxst30(,),1,2ixxkMx2x1x3对12{,,,},nNxxxM101\((,),..nnikxMxst10(,),1,2,,nkxxkn则构造出点列{},nxM满足0(,),,,1,2,nmxxmnmn从而{}nx的所有子列都不收敛，这与M在X中列紧矛盾！（2）“”见（1）“”设(,)X完备，M完全有界要证：若{},nxM则{}nx有收敛的子列。设{}n,xM因为M完全有界，则11,..(,1)yNstMBy，其中为有穷集。1NM所以1{}(,1)nyNxBy(1)(1)111,{}{},..{}(,1)nnnyNxxstxBy211,..(,)22yNstMBy，其中为有穷集。2NM所以2(1){}(,1)nyNxBy(2)(1)(2)2221,{}{},..{}(,)2nnnyNxxstxBy()(1)()11,,{}{},..{}(kkkkknnnkyNxxstxBykk,),n，其中为有穷集。kNM如图用对角线法抽出子列(){}{}kkxx满足()1{}(,kkkxByk)，1,2,k下证(){}kkx是X中的基本列123(1)(1)(1)(1)1231(2)(2)(2)(2)1232(3)(3)(3)(3)1233()()()()123(,1)1(,)21(,)31(,)nnnnnnnnnnxxxxMxxxxByxxxxByxxxxByxxxxByn因为,p()()()()112(,)(,)(,)npnnpnnpnnpnnnxxxyyxnnn0所以由(,)X完备，知道(){}kkx在X中收敛。即M在X中列紧。定义1.3.8一个距离空间若有可数稠密子集,就称空间是可分的如(,),,可数并且稠密，故(,)是可分空间。定理1.3.9完全有界的距离空间是可分的。证：设距离空间(,)X完全有界，则对11,,..nnyNNXstXBynn有穷集合(,)（*）则，且是可数稠密子集。1nnNX事实上，1）可数性：有穷集的可数并是可数集。2）稠密性：001,(*),..(,)nnnxXyNstyxn由有，即，从而稠密。0,()nyxn1nnN数学分析中关于闭区间上的连续函数有一系列定理，能否推广到一般的距离空间上是个很重要的问题。关键在于用什么代替闭区间，用闭集是不合适的，因为全空间是闭集！连续函数的有界性定理是由有限覆盖定理证明的，所以使用有限覆盖定理成立的点集是自然的选择。定义1.3.10（紧集）在拓扑空间X中，若X中每个覆盖M的开集族中有有穷个开集覆盖集合M，则称M为紧的。若A是紧集，则称是相对紧集。A注：1、若,,MGGX是开集，则称{}G是M的开覆盖。对一般的度量空间有以下结论：2、紧集是闭集；紧集的闭子集是紧集；相对紧集的子集是相对紧集。3、设dimX，，则是紧集AXAA是闭集A是相对紧集A是有界集4、设dimX，则X中的闭球B是紧集设dimX，则X中的正半径闭球B是非紧集5、是相对紧集是列紧集AAX完备A是有界集6、是紧集是自列紧AAX完备A是完全有界集定理1.3.11设(,)X是距离空间，MX是紧集M是自列紧集证：“”设MX是紧集（注：自列紧集=闭性+列紧性）1、M是闭集，只须证\XM是开集。注：00\,0,..(,)cccXMMopenxMstBxMorMBx0(,)0\xXM，固定0x，xM，有00011(,(,))(,(,))22BxxxBxxx012011(,(,))12{,,,},..(,(,))2kxMkiiMBxxxxxxMstMBxxxM是紧集(*)且00011(,(,))(,(,)),1,2,,22iiiBxxxBxxxik注意到0000111(,(,))(,)(,(,))22kiii0BxxxBxBxxx，其中011min(,)02iikxx从而001(,(,))(,),1,2,,2iiBxxxBxik)由（*）知道：0(,MBx即M是闭集。2、M是列紧集。反证法：假设存在不含收敛子列点列{}nxM，则{}nx中的每一项都至多出现有限次。不妨设{}nx中元素两两互异记12112{,,,,,,}nnnnSxxxxx则无聚点nS()nnndSSS导集是闭集\nXS是开集。111(\)\\,..(\)NnnnnnnXSXSXXMNstMXSM又是紧集即1111(\)=\\{}{}NNnnnnNnnNNnn1XSXSXxMxxM而11\{}NnnNxXxM矛盾xXM0x001(,(,))Bi2xxx“”设M是自列紧集。要证M紧反证法：设存在M的开覆盖{}G没有有限子覆盖。因为M是自列紧集M完全有界()()()()12()=1()11,,{,,,},..(,)(,nnnnnkniniknyNnNxxxMstMBxBnn1)yn因为M对覆盖{}没有有限子覆盖G所以1,..(nnnyNstByn,)对覆盖{}G没有有限子覆盖。（若1(,)nByn对覆盖{}有限子覆盖，则G1(,)(),nnnyNyNIMByGIn有限M被有限覆盖矛盾M）0{}{}{},..kknnnnyMyystyyM从而得到点列自列紧又，记0{}yMG00yG因为0G是开集000,..(,)stByG又000,,,(,),(,)22kkknknyyNnNyyyBy0n对当时即则当充分大时，使k2kn，有01(,)(,knkByByn)（事实上，0011(,),(,)(,)(,)(,)2kkknnnkkyByyyyyyyyBynn0由）又0001(,)(,)knkByGByGn（与1(,){}nByGn对覆盖没有有限子覆盖矛盾！）对推广[,]Cab设(,)M是紧距离空间，(){:|}CMfMf连续定义，(,)max|()()|xMdfgfxgx,()fgCM验证上述定义是well—define：即对()fCM，max|()|xMfx存在。()()fMfM紧集的连续像是紧集是紧集是中的有界闭集又有限维空间中的紧集是有界闭集从而max|()|xMfx存在。注：。紧集的连续像是紧集证：设()fx是定义在紧集M上的连续映射000{}(){},..()()()(){}{}:||||()kkkknnnnnnnnnyfMxMstfxyfxfxfMMxxxxMyyfM是紧集是紧集。命题1.3.12(是完备距离空间。(),)CMd证：距离空间。根据的定义显然成立。d命题1.3.13(是完备的。(),)CMd2、完备空间。证：设{}nf是()CM中的任意基本列0,,,,NnmN当时有(,)max|()()|nmnmxMdfffxfx所以,|()()|{()}nmnxMfxfxfx是中的基本列。因为完备(),..()(),nfxstfxfxn又,,|()()|nmnmNfxfx时，固定x，令有m|()()|nfxfx，xM故()()()()()()nnfxfxfxfxCfxM一致连续在上连续M且,|()()|nnNfxfx时，xM所以(,)max|(