高中数学阶段常见函数性质汇总

1高中阶段常见函数性质汇总函数名称：常数函数解析式形式：f(x)=b(b∈R)图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线定义域：R值域：{b}单调性：没有单调性奇偶性：均为偶函数[当b=0时，函数既是奇函数又是偶函数]反函数：无反函数周期性：无周期性函数名称：一次函数解析式形式：f(x)=kx+b(k≠0,b∈R)图象及其性质：直线型图象。|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b=0时，函数f(x)的图象过原点；当b=0且k=1时，函数f(x)的图象为一、三象限角平分线；当b=0且k=-1时，函数f(x)的图象为二、四象限角平分线；定义域：R值域：R单调性：当k0时，函数f(x)为R上的增函数；当k0时，函数f(x)为R上的减函数；奇偶性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；反函数：有反函数。[特殊地，当k=-1或b=0且k=1时，函数f(x)的反函数为原函数f(x)本身]周期性：无函数名称：反比例函数解析式形式：f(x)=xk(k≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y=x、y=-x；定义域：),0()0,(值域：),0()0,(单调性：当k0时，函数f(x)为)0,(和),0(上的减函数；当k0时，函数f(x)为)0,(和),0(上的增函数；xybOf(x)=bxyOf(x)=kx+bxyOf(x)=xk2奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无函数名称：变式型反比例函数解析式形式：f(x)=dcxbax(c≠0且d≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线cay、直线cdx相交，当k0时，函数f(x)的图象分别在直线cay与直线cdx形成的左下与右上部分；当k0时，函数f(x)的图象分别在直线cay与直线cdx形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线cay与直线cdx分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点),(cacd；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为cdaxy、cdaxy；由于cacdxcadbcdcxcadbcadcxcadbdcxcadcxbaxxf2)()(令2cadbck，则cacdxkxf)(进而函数f(x)的图象可以看成是由函数xky向左平移cd个单位，向上平移ca个单位得到的定义域：),(),(cdcd值域：),(),(caca单调性：当0adbc时，函数在),(cd和),(cd上均为减函数；当0adbc时，函数在),(cd和),(cd上均为增函数；奇偶性：非奇非偶函数反函数：acxbdxy周期性：无abx2xyOf(x)=dcxbax3函数名称：二次函数解析式形式：一般式：)0()(2acbxaxxf顶点式：)0()()(2ahkxaxf两根式：)0)()(()(21axxxxaxf图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为abx2，顶点坐标为)44,2(2abacab或),(hk，与y轴的交点为),0(c；②当0a时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2abacab；当0a时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2abacab；③当042acb时，函数图象与x轴有两个交点，当042acb时，函数图象与x轴有一个交点，当042acb时，函数图象与x轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0a时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0a时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数)0()(2acbxaxxf均可由函数)0()(2aaxxf平移得到；定义域：R值域：当0a时，值域为),44(2abac；当0a时，值域为)44,(2abac单调性：当0a时，]2,(ab上为减函数，),2[ab上为增函数；当0a时，),2[ab上为减函数，]2,(ab上为增函数；奇偶性：当0b时，函数为偶函数；当0b时，函数为非奇非偶函数反函数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周期性：无函数名称：指数函数解析式形式：)1,0()(aaaxfx图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x轴不相交，只是无限靠近；xyOf(x)=cbxax2xyOf(x)=)1(aaxf(x)=)10(aax4②函数xaxf)(与xxaaxf)1()(的图象关于y轴对称；③当1a时，y轴以左的图象夹在在直线1y与x轴之间，y轴以右的图象在直线1y以上；当10a时，y轴以左的图象在直线1y以上，y轴以右的图象夹在在直线1y与x轴之间；④第一象限内，底数大，图象在上方；定义域：R值域：),0(单调性：当0a时，函数为增函数；当0a时，函数为减函数；奇偶性：无反函数：对数函数)1,0(log)(aaxxfa周期性：无函数名称：对数函数解析式形式：)1,0(log)(aaxxfa图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y轴不相交，只是无限靠近；②函数xxfalog)(与xxxfaaloglog)(1的图象关于x轴对称；③当1a时，x轴以下的图象夹在在直线1x与y轴之间，x轴以上的图象在直线1x以右；当10a时，x轴以下的图象在直线1x以右，x轴以上的图象夹在在直线1x与y轴之间；④第一象限内，底数大，图象在右方；定义域：R值域：),0(单调性：当0a时，函数为增函数；当0a时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数]奇偶性：无反函数：指数函数)1,0()(aaaxfx周期性：无函数名称：对钩函数xyOf(x)=)1(logaxaf(x)=)10(logaxaxyOf(x)=xx1125解析式形式：xxxf1)(图象及其性质：①函数图象与y轴及直线xy不相交，只是无限靠近；②当0x时，函数)(xfy有最低点)2,1(，即当1x时函数取得最小值2)1(f；③当0x时，函数)(xfy有最高点)2,1(，即当1x时函数取得最大值2)1(f；定义域：),0()0,(值域：),2[]2,(单调性：在]1,(和),1[上函数为增函数；在)0,1[和]1,0(上函数为减函数；奇偶性：奇函数反函数：定义域内无反函数周期性：无2．3函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）2．3函数单调性【典型例题】例1．(1)()(21),fxaxbR设函数是上的减函数则a的范围为()A．12aB．12aC．12aD．12a(2)函数2([0,)yxbxcx)是单调函数的充要条件是()A．0bB．0bC．0bD．0b(3)已知()fx在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则下列表达正确的是（）A．()()[()()]fafbfafbB．()()()()fafbfafbC．()()[()()]fafbfafbD．()()()()fafbfafb(4)如下图是定义在闭区间上的函数()yfx的图象,该函数的单调增区间为(5)函数223yxx的单调减区间是例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx（2）2|23|yxx例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．例4.设)(xf是定义在R上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。（1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在R上是减函数；（4）若()(2)1fxfx，求x的范围。6【课内练习】1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是().A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx2.函数223yxx的增区间是（）.A．[3,1]B．[1,1]C．(,3)D．[1,)3.2()2(1)2fxxax在(,4]上是减函数，则a的取值范围是（）.A．3aB．3aC．5aD．3a4．若函数()fx在区间[a,b]上具有单调性，且()()0fafb,则方程()0fx在区间[a，b]上（）A．至少有一个实数根B．至多有一个实数根C．没有实数根D．必有唯一的实数根5.函数2610yxx的单调增区间是____，单调减区间______。提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．若2()23fxxmx当[2,)x时是增函数,当(,2]x时是减函数,则(1)f7．已知()fx在定义域内是减函数，且()fx0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为①()yafx（为常数）；②()yafx（a为常数）；③1()yfx；④2[()]yfx．8．函数(1)()log[0,1]xxafxa在上的最大和最小值的和为a，则a=9．设()fx是定义在(0,)上的单调增函数，满足()()(),(3)1fxyfxfyf求：（1）f（1）；（2）当()(8)2fxfx时x的取值范围.10．求证:函数()(0)afxxax在(,)a上是增函数.2．4函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）【典型例题】例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数()fx为奇函数的充要条件是(0)0f；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．A．1B．2C．3D．4（2）已知函数2()3fxaxbxab是偶函数，且其定义域为［1,2aa］，则（）A．31a，b＝0B．1a，b＝0C．1a，b＝0D．3a，b＝0（3）已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx，则()fx）在R上的表达式是（）（4）已知53()8fxxaxbx，且(2)10f，那么f（2）等于（5）已知()fx是偶函数，()gx是奇函数，若11)()(xxgxf，则()fx的解析式为例2．判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xfxxx；(2)22()11fxxx；（3）22lg(1)()|2|2xfxx；（4）22(0)()(0)xxxfxxxx．例3．若奇函数()fx是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：2(2)(4)0fafa．7例4．已知定义在R上的函数()fx对任意实数x、y，恒有()()()fxfyfxy，且当0x时，()0fx，又2(1)3f．（1）求证：()fx为奇函数；（2）求证：()fx在R上是减函数；（3）求()fx在[3，6]上的最大值与最小值．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（）A．函数1yx是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数30(1)yxx是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数2yx是偶函数，且在（3，0）上为减函数D．函数2(0)yaxcac是偶函数，且在（0，2）上为增函数2．若)(x，()gx都是奇函数，()()()2fxaxbgx在（0，＋∞）上有最大值5，则()fx在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．