宁波工程学院线性代数历年考题

宁波工程学院2006--2007学年第1学期《线性代数》课程期末考试卷题号一二三四总分复核人应得分1515637100实得分评卷人一、填空题（15分，每小题3分）1.方阵可逆的充分必要条件有许多，请给出三个不同的叙述：①；②；③；2.已知4阶方阵的行列式，则行列式=；=；=。3.向量组线性无关，向量组,线性相关，则必然。4.若是非齐次方程组的解，是其齐次方程组的基础解系，则是解；齐次方程组的通解为；非齐次方程组的通解为；5.如果是阶实对称矩阵的重特征根，则意味着=；且对应于的线性无关的特征向量有个；且必相似于对角阵。二、单项选择题（15分，每小题3分）1、若为阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是【】（A）；（B）；（C）；（D）；2、设为阶矩阵，，如果【】（A）；（B）；（C）；（D）；3、维向量组线性相关的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）；4、方程组有个未知量，如果，则【】（A）必有无穷多解；（B）有唯一解；（C）有可能无解；（D）以上答案都不对；5、设，，则的内积为【】（A）0；（B）-2；（C）4；（D）2；三、计算题（63分），，.；①求的秩；②求解线性方程组得通解；.6、求下列向量组的秩和一个最大线性无关组.（本题7分），，，，.8、试将向量组正交规范化（本题7分）9、用配方法化二次型成标准形（本题7分）四、证明题（7分）是齐次方程组的基础解系，,。试证明：1、向量组线性无关；2、向量组也是的基础解系。宁波工程学院2007--2008学年第1学期《线性代数》课程期末考试卷题号一二三四五六总分复核人应得分15152420188100实得分评卷人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分,，总计15分）1.已知向量组线性相关，则2．已知三阶矩阵的行列式，则行列式;3.若元齐次线性方程组有个线性无关的解向量，则=;4.已知的特征值为1，2，3，则;5．二次型的秩为.二、选择题（本大题共5小题，每小题3分,，总计15分）1.设均为阶矩阵，且，则必有（）(A)；(B)；(C)；(D).2.设是阶方阵，其秩，则在的个列向量中（）(A)任意个列向量线性无关；(B)任意个列向量都构成最大线性无关向量组；(C)任意个列向量都线性相关；(D)任意一个列向量可由其它个向量线性表出.3.方程组有个未知量，如果，则()（A）必有无穷多解；（B）有唯一解；（C）有可能无解；（D）以上答案都不对.4.设是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值等于（）(A)(B)；(C)；(D).5.已知向量，正交，则为（）(A)；(B)；(C)；(D)三、计算下列各题(本大题共3小题，每小题8分,，总计24分)1.计算行列式2.设矩阵，求一个矩阵，使，且。.3.求方阵的逆阵四、解答下列各题（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）1.当取何值时，非齐次线性方程组有解，并求出通解，2.求列向量组，，，，的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示；五、解答下列各题（本大题共2小题，每小题9分,，总计18分）1.已知矩阵，求的特征值与特征向量；2.设，求六、证明题（本大题共2小题，每小题4分，总计8分）1.设方阵满足，证明可逆，并求。2.已知，证明（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示宁波工程学院2008----2009学年第1学期《线性代数A》课程期末考试卷题号一二三四五总分复核人应得分211524328100实得分评卷人一、填空题（本大题共7小题，每小题3分,，总计21分）1、已知三阶矩阵的行列式，则行列式;2、设行列式，则第三行各元素的余子式之和的值为;3、已知向量组=，=，=线性相关，则=;4、若=，=，则=;5、设矩阵=，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则=;6、设三阶矩阵与相似，已知的特征值为2，1，-1，则行列式=；7、已知二次型=的矩阵的特征值为2，5，1，则二次型的标准形为二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分,，总计15分）1.设有矩阵，则下列运算中没有意义的是（）（）．（）.（）.（）.2.设、、均为阶矩阵，且，则必有（）（）．（）.；（）.（）..3.向量组线性无关的充分条件是()（）．均不是零向量（）.有一个部分组线性无关（）.中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示（）.中任意两个向量都不成比例4.若、为阶可逆矩阵，则下列结论正确的是()（）.().（）.（）.5.已知向量=，与=正交，则等于（）（）．0（）.1（）.2（）.3三、计算下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1.计算行列式D=2.设矩阵=，=满足，求逆矩阵和矩阵3.设矩阵=，求矩阵的秩和列向量组的一个最大线性无关组；四、解答题(第1小题10分，第2小题8分，第3小题14分，总计32分)1.当取何值时，非齐次线性方程组(1)无解；（2）有惟一解；（3）有无穷多个解？2.求与非齐次方程组对应的齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的通解；3.已知矩阵，求（1）的特征值与特征向量；（2）一个正交矩阵，使为对角阵。五、证明题（本大题共2小题，每小题4分，总计8分）1．设方阵满足，证明是可逆矩阵，并求。2.若n维非零向量组，，两两正交，则向量组，，线性无关。宁波工程学院2009---2010学年第1学期《线性代数A》课程期末考试卷题号一二三四五总分复核人应得分21分15分24分32分8分100分实得分评卷人一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，总计21分）1、已知三阶方阵的行列式=3，则行列式=______。2、设行列式=，则第三行各元素的余子式之和的值为_______。3、已知向量组，，线性相关，则=_______。4、若=，=，则=_______。5、设矩阵=，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则=_______。6、设三阶矩阵与相似，已知的特征值为3，2，1，则行列式=__________。7、若是非齐次方程组的解，,,…,是其齐次方程组的基础解系，则齐次方程组的通解为_____。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1.若为阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）（A）;（B）;（C）;（D）.2.设是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值等于（）（A）;（B）;（C）;（D）.3.维向量组:,,…,线性无关的充要条件是()（A）;（B）;（C）;（D）.4.方程组有个未知量，如果，则()（A）必有无穷多解;（B）有唯一解;（C）有可能无解;（D）以上答案都不对.5.已知=，=，则与的内积等于（）（A）-12;（B）-19;（C）15;（D）21.三、计算下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1.计算行列式2.设矩阵满足,求．3.已知有非零解,求.四、解答题(第1小题10分，第2小题8分，第3小题14分，总计32分)1.向量组：,,,求向量组的一个最大无关组．2.求与非齐次方程组对应的齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的通解；3.已知矩阵，求（1）的特征值与特征向量；（2）一个正交矩阵，使＝为对角阵。五、证明题（本大题共2小题，每小题4分，总计8分）1．设,…,是非齐次线性方程组的个解,,…,为实数，满足=1。证明也是它的解。2.设为维列向量,，令，证明是对称的正交阵．宁波工程学院2009---2010学年第1学期《线性代数A》课程期末考试卷题号一二三四五总分复核人应得分21分15分24分32分8分100分实得分评卷人一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，总计21分）1、已知三阶矩阵的行列式=4，则行列式=______;2、设=，=，则=______3、已知向量组，，线性相关，则=______;4、若是非齐次方程组的解，,,…,是其齐次方程组的基础解系，则++是_解。5、设三阶矩阵与相似，已知的特征值为2，1，-1，则行列式=______。6、已知二次型，则二次型矩阵=______7.设向量，，若，正交，则=______。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1.设,,均为阶矩阵，且，则必有（）（A）;（B）;（C）;（D）.2.设是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值等于（）（A）;（B）;（C）;（D）.3.维向量组:,,…,线性无关的充要条件是()（A）;（B）;（C）;（D）.4.设为有阶矩阵，为有阶矩阵，如果=0()（A）;（B）;（C）;（D）.5.方程组有个未知量，如果，则（）（A）必有无穷多解;（B）有唯一解;（C）有可能无解;（D）以上答案都不对.三、计算下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1.计算行列式D=2.设，，与正交，且，求和。3.设3阶矩阵A的特征值为，，，对应的特征向量依次为＝，＝，＝，求A.四、解答题(第1小题10分，第2小题8分，第3小题14分，总计32分)1.试用施密特法把向量组正交化2.求与非齐次方程组对应的齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的通解3.已知矩阵，求（1）的特征值与特征向量；（2）一个正交矩阵，使＝为对角阵。五、证明题（本大题共2小题，每小题4分，总计8分）1．已知向量组线性无关,证明向量组,,线性无关．2.对于对称矩阵,若特征值,特征向量依次为,则与正交．