椭圆周长公式的推导

椭圆周长椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。在平面坐标系内椭圆的标准方程为12222byax，.0,0ba参数方程为20,sin,cosbyax当ba时，椭圆图像为微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。若某条光滑曲线，能用参数方程表示tXx，tYy当t时，该段曲线的长度L可表示为dttYtXL22''下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则deadbadbaL2022202222202222cos14coscos14cossin4…………………○1其中acabae222，椭圆的离心率。这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公式把22cos1e展开。32!3)2)(1(!2111xkkkxkkkxxk……当21k时，可得21!2!!321211nnnnnxnxx在此式中令22cosex可得2222222!2cos!!322cos1cos1nnnnnenee……………○2其中12531!!12nn把○2式代入○1式周长L的计算试中后，那个复杂的定积分便能迎刃而解了，所以2022022222222022cos!2!!32cos224!2cos!!322cos14nnnnnnnndnendeadneneaL……………○3这个式子还是很复杂，需要把中括号部分进行化简变换一下。先求出2!2!!122212654321cos202nnnndnn………………○4把○4式代入○3式，周长L就能很快得出来了。于是122122222212!!2!!12121226421253112212!21232531221224nnnnnnnnennanennannenneaL这就是椭圆周长的公式，既著名的“项名达公式”，相当的复杂，这应该是最精确的了，另外还有很多的近似公式，不过误差太大，但可以满足工程上的应用。现在科技如此发达，有一些数学软件可以计算出椭圆周长，而且结果相当的准确。计算原理就是定积分的应用，但这个积分不容易求出来，需要有一定的数学能力，有一定的耐心，以及对泰勒公式的应用要求较高。对周长级数形式L进行展开得7876543215654321343211211286422eeeeaL……………○5其中a为半长轴，222abae为椭圆的离心率。例如,当椭圆方程为1162522yx时，5a，4b，53e则周长为36.28787654321565432134321211282624222eeeeaL另外有些近似公式作的也很好，例如abbaL23其实它是根据○5式近似计算来的，计算精度还行，推导过程有点复杂。椭圆周长的计算方法有很多，这只是其中一种而已，但得到的结果都不“完美”，任然需要科学爱好者努力攻克这个小小的问题。当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。