第9章无量纲参数

2020/4/25工程流体力学第9章1第9章量纲分析和相似理论本节介绍模型实验的理论问题。9.1量纲和单位物理量：物质或物理现象的性质及定量的属性。量纲：属性相同的物理量单位：同类物理量中，选取一个特定的量作为参考量。此参考量称为单位。2020/4/25工程流体力学第9章2基本量纲：质量、长度、时间等称为基本量纲。导出量纲：一般物理量的量纲可以用基本量纲的幂的乘积表示。例如：SI单位制：质量kg（千克）、长度m（米）、时间s（秒）。单位一贯性：如果在物理量的计算中使用SI单位，则所得结果也必然具有SI单位。量纲一的特征数：dimRe=L0M0T0。31MLdimLTdimv2020/4/25工程流体力学第9章39.2量纲分析方法布金汉π定理一个物理现象与n个物理量有关q1,q2,…,qn，即F(q1,q2,…,qn)=0如果这n个物理量包含m个基本量纲，则存在n-m个独立的无量纲数，π1，π2，…,πn-m，并且有f(π1，π2，…,πn-m)=02020/4/25工程流体力学第9章4π定理的应用：无量纲数的确定1.列出流动现象所涉及的m个物理量。2.从m个物理量中找出3个基本物理量Q1,Q2,Q3。3.基本物理量的特点：它们包含有L,M,T，而且它们的指数行列式不等于零。4.用这3个基本物理量与其余的任一个物理量组成一个无量纲数qQQQcba)()()(3212020/4/25工程流体力学第9章5例9.2球体在流场中受到的阻力FD与直径D、速度v、流体密度ρ和粘度μ有关。试用定理导出阻力FD的一般表达式。解:5个物理量FD、D、V、ρ、μ的量纲为：,dimdim,dimdim,dim11132LTvTMLLDMLMLTFD2020/4/25工程流体力学第9章63个基本量纲：M、L、T。存在2个独立的量纲一的特征数：π1，π2。特征数π1和π2的求法：（1）在5个物理量中选出3个基本物理量ρ、D、V。基本物理量的量纲幂指数构成的行列式的值必须不为零。011100100312020/4/25工程流体力学第9章7（2）基本物理量ρ、D、v与另外两个物理量组成2个量纲一的特征数。确定量纲一的特征数π1:bcbaacbacbaDTLMMLTLLTMLMLTDvF321-3-211)()(dim2131bcbaa)21(,2,2,12221AVFCDVFcbaDDD2020/4/25工程流体力学第9章8确定量纲一的特征数π2:bcbaacbaTLMTMLDv31122dim1131bcbaa)(Re,1,1,12vDvDcba2020/4/25工程流体力学第9章9（3）根据π定理，222212(Re))(DVCFfCDVFfDDDD实用公式：AvCFDD2212020/4/25工程流体力学第9章10例9.3对于粘性管流，管段的压强差Δp与管段长度l,平均流速v，流体的密度ρ，动力粘度μ，管道直径D，绝对粗糙度Δ有关。试用π定理决定本流动现象的量纲一特征数，并列出Δp与其他物理量关系的一般表达式。解：7个物理量的量纲为：321111dimdim,dimdim,dimdim,dimMLTMLpLlLLDTMLLTV2020/4/25工程流体力学第9章113个基本量纲：M、L、T。存在4个独立的量纲一的特征数：π1，π2，π3，π4。确定特征数π1…π4:(1)在5个物理量中选出3个基本物理量ρ、D、V。(2)基本物理量ρ、D、V与另外两个物理量组成2个量纲一的特征数。2020/4/25工程流体力学第9章12213211-3-41)()(dimTMLTLMTMLLLTMLpDvbcbaacbacba0201301bcbaa210,-2,1vpcba2020/4/25工程流体力学第9章131-1--3-22dimTMLTLMDvbcbaacba0101301bcbaavDvDcbaRe-1,-1,12，2020/4/25工程流体力学第9章14DDl43容易求得：2020/4/25工程流体力学第9章15（3）根据π定理，),,(Re)(24321DDlfvpf，，实用公式：gvdlgp222020/4/25工程流体力学第9章16作业9.62020/4/25工程流体力学第9章17相似：原型流场1与模型流场2的同类参数成比例。几何相似：两个流场的几何尺寸成比例。9.3流动相似原理FGGFF2121LddLL2121vuuvv2121动力相似：两个流场的作用力成比例，方向相同。运动相似：两个流场的速度成比例，方向相同。2020/4/25工程流体力学第9章18关于动力相似流体运动时，作用在流体上的惯性力等于外力：F=ma或惯性力=重力+压力+粘性力惯性力是主动力，它决定流体运动的规律。重力、压力、粘性力是外力，它们对惯性力均有影响。2020/4/25工程流体力学第9章19流体力学的动力相似表现形式为：21212121惯性力惯性力粘性力粘性力压力压力重力重力流体受到的力的量级通常用各种特征参数（特征长度L、特征速度V、特征压强p、特征时间T、特征密度ρ、特征粘度μ）表示。加速度：xuutua2020/4/25工程流体力学第9章20迁移加速度：局部加速度：LV2惯性力：TV2223VLLVL重力：gL32020/4/25工程流体力学第9章21压力：2pL粘性力：LVLLV22020/4/25工程流体力学第9章22常见的动力相似准则雷诺准则：惯性力与粘性力成比例2211粘性力惯性力粘性力惯性力由于：VLVLLVVL22粘性力惯性力或：2121粘性力粘性力惯性力惯性力2020/4/25工程流体力学第9章23定义雷诺数：雷诺表征惯性力与粘性力的比值。雷诺准则要求两个流场的雷诺数相等：Re1=Re2vLRe2020/4/25工程流体力学第9章24弗劳德准则:只要求惯性力与重力成比例2211重力惯性力重力惯性力gLVgLVL2322重力惯性力定义弗劳德数Fr：gLVFr弗劳德准则要求两个流场的弗劳德数相等：Fr1=Fr22020/4/25工程流体力学第9章25欧拉准则欧拉准则要求：2211惯性力压力惯性力压力定义欧拉数：欧拉数表征压力与惯性力的比值。欧拉准则要求两个流场的欧拉数相等：Eu1=Eu22222VpVLpL惯性力压力2VpEu2020/4/25工程流体力学第9章26相似准则的选择要实现两个流场相似，必须使两个流场的雷诺数、弗劳德数、欧拉数分别相等。实际上，要使这些特征数都相等很难办到，即使要保证两个特证数相等也办不到。例如：若保证雷诺数和弗劳德数都相等是无法实现的。请看下面的证明。2020/4/25工程流体力学第9章27Re1=Re2Fr1=Fr2122121222111LLVVLVLV211121222111LgLgVVLgVLgV2020/4/25工程流体力学第9章28如果L1/L2=100，则ν1/ν2=1000。运动粘度相差1000倍的两种流体在工程中找不到。5.1212111212121111221LLLgLgLLLgLgLvLv2020/4/25工程流体力学第9章29工程中关于相似准则的选择在模型试验中，通常只能保证一个特征数相等。对于粘性阻力问题的实验研究，通常保证雷诺数相等。对于重力起主导作用的水流运动，通常保证弗劳德数相等。2020/4/25工程流体力学第9章30例9.5直径d2=90cm的圆球在空气中以速度v2=60m/s运动。现对圆球进行阻力试验。模型圆球直径d1=45cm，使模型球在水中运动。试问，模型球在水中的运动速度v1应为多少？如果测得模型求在水中以此速度运动的阻力F1=1140N，试求原型球在空气中运动时的阻力F2。（空气密度ρ2=1.28kg/m，动力粘度μ2=1.93×10-5Pa.s。水的密度ρ1=1000kg/m，动力粘度μ1=1.145×10-3Pa.s。2020/4/25工程流体力学第9章31圆球的阻力与直径d、速度v、流体密度和动力粘度有关f(F,d,v,ρ,μ)=0本题有5个物理量，3个基本量纲，2个独立的无量纲数。选取ρ，v，d为基本物理量。经分析，两个无量纲特征数为雷诺数和阻力系数。2020/4/25工程流体力学第9章32根据定理CD=f(Re)阻力与粘性有关，模型试验应满足雷诺准则。smVdVRedVRe/113.9,3581347,358134711111122222由于Re1=Re2，而CD=f(Re)，因而CD1=CD2，NdVCFdVFCdVFCDDD99.252421,1726.0421,1726.04212222222222222221211112020/4/25工程流体力学第9章33本章结束