4.4-拉普拉斯逆变换

§4.4拉普拉斯逆变换•主要内容•重点：部分分式分解•难点：部分分式分解中系数的求解问题•部分分式分解•用留数定理求逆变换（自己看）从象函数F(s)求原函数f(t)的过程称为拉普拉斯反变换。简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-1以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数。求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分，它的适用范围更广。一、部分分式分解01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmmai,bi为实数，m,n为正整数。,为有理真分式当sFnm:式具有如下的有理分式形通常sF)())(()())(()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF分解零点极点0)(0)(sFsA的零点称为的根是sFsAzzzzm,0,,321的极点称为的根是sFsBppppn,0,,321)(0)(sFsB按照极点之不同特点，部分分式分解方法有以下几种情况（1）极点为实数，无重根；（2）包含共轭复数极点（3）有多重极点1.第一种情况：极点为实数，无重根的情况）先考虑为不同的实数根nm(,,321npppp)())(()()(21npspspssAsFnnpskpskpsksF2211)(展开为部分分式即可将求出sFkkkkn,,,321然后再根据常用信号的拉氏变换进行逆变换(1)找极点)3)(2)(1(3322ssssssF(2)展成部分分式321321sksksksF362511)(ssssF6116332)(232ssssssF1stueLt根据065)(:32teeetfttt得(3)逆变换求系数例：求下列函数的逆变换如何求系数k1,k2,k3``````？11k1,1ss且令对等式两边同乘以11321321)1(kskskskss右边1)()1(ssFs左边1)3)(2)(1(332)1(12sssssss,5)()2(:22ssFsk同理6)()3(33ssFsk362511)(ssssF第二种情况：包含共轭复数极点22ssDsAsFjsjssF1共轭极点出现在j......21jsKjsKsFjssFjsK1jjF21jssFjsK2jjF22成共轭关系：可见21,KKjBAK1*12KjBAK求f(t)jBAK1*12KjBAKjsKjsKLtfC211ttteKeKe*11tBtAetsincos2例题。的逆变换求)()52)(2(3)(22tfsssssF)2)(21)(21(32sjsjsssF21212210jsKjsKsK02,,1取57)2(20ssFsK521)21)(2(32121jjsssKjs52,51BA02sin522cos512572ttteetftt22sssFF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法2222ssssF0sincosttetetftt求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法222)(cos)(sinssteLsteLtt利用第三种情况：有多重极点11121111)()()()(kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk求k11，方法同第一种情况：求其它系数，要用下式11)()()(1111pskpssFpssFkkisFsikpsiii,3,2,1)(dd)!1(1111111)(dd,2112pssFsKi当1)(dd21,312213pssFsKi当例：求下列函数的逆变换232122)1(12)1)(2()(skskskssssF4)1)(2()2(2221sssssk1)1)(2()1(12223sssssk为重根最高次系数为单根系数31,kk如何求k2?如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其它分式为032122)1(2)1(2ksksksss0)2()1()2)(1(222211ksskkss22222)2(4)2()2(22ddssssssssss32k2)1(s对原式两边乘以两边再求导若求只能求出时令,,1,123kks3212)1(2)1(ddkksskss右边)()1(dd2sFss左边2,1ks右此时令3)2(4122ssss左边逆变换2)1(11324)(ssssF034)()(21tteeesFLtfttt二、用留数定理求逆变换（自己看）思考题•1.拉普拉斯逆变换的求解方法？