2015浙江卷(文数)

2015浙江卷(文数)选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考浙江卷,文1)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2x4},则P∩Q等于(A)(A)[3,4)(B)(2,3](C)(-1,2)(D)(-1,3]解析:P={x|x≥3或x≤-1},故P∩Q={x|3≤x4}.2.(2015高考浙江卷,文2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(C)(A)8cm3(B)12cm3(C)cm3(D)cm3解析:该几何体为正四棱柱和正四棱锥的组合,所以其体积V=V四棱柱+V四棱锥,故V=23+×22×2=(cm3).3.(2015高考浙江卷,文3)设a,b是实数,则“a+b0”是“ab0”的(D)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若a+b0,取a=3,b=-2,则ab0不成立;反之,若a=-2,b=-3,则a+b0也不成立,因此“a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件.4.(2015高考浙江卷,文4)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.(A)(A)若l⊥β,则α⊥β(B)若α⊥β,则l⊥m(C)若l∥β,则α∥β(D)若α∥β,则l∥m解析:对于面面垂直的判定,主要是两个条件,即l⊂α,l⊥β,如果这两个条件存在,则α⊥β.5.(2015高考浙江卷,文5)函数f(x)=x-cosx(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(D)解析:根据y1=x-为奇函数,y2=cosx为偶函数,可得函数f(x)为奇函数,因此排除A、B项,又当x=π时,y10,y20,因此选D.6.(2015高考浙江卷,文6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(B)(A)ax+by+cz(B)az+by+cx(C)ay+bz+cx(D)ay+bx+cz解析:采用特值法进行求解验证即可,若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=14,az+by+cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=13.由此可知最低的总费用是az+by+cx.7.(2015高考浙江卷,文7)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是(C)(A)直线(B)抛物线(C)椭圆(D)双曲线的一支解析:由题意知,线面角为60°,∠PAB=30°,因此AP的轨迹在空间是一个以AB为轴线,A为顶点的圆锥侧面,用一个与圆锥轴线成60°角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.8.(2015高考浙江卷,文8)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t.(B)(A)若t确定,则b2唯一确定(B)若t确定,则a2+2a唯一确定(C)若t确定,则sin唯一确定(D)若t确定,则a2+a唯一确定解析:若t确定,则t2确定,由|a+1|=t,得a2+2a+1=t2,所以a2+2a=t2-1唯一确定;对于A、C,令t=0,则sinb=0,即b=kπ,k∈Z,所以b2,sin都不确定;对于D,令t=2,则|a+1|=2,即a=1或a=-3,此时a2+a=2或a2+a=6,即a2+a的值不唯一确定.故选B.非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(2015高考浙江卷,文9)计算:log2=,=.解析:log2=log2=-,====3.答案:-310.(2015高考浙江卷,文10)已知{an}是等差数列,公差d不为零,若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.解析:由a2,a3,a7成等比数列,得=a2a7,则2d2=-3a1d,即d=-a1.又2a1+a2=1,所以a1=,d=-1.答案:-111.(2015高考浙江卷,文11)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,最小值是.解析:由题可得f(x)=sin2x-+,所以最小正周期T=π,最小值为.答案:π12.(2015高考浙江卷,文12)已知函数f(x)=则f(f(-2))=,f(x)的最小值是.解析:因为f(-2)=4,f(4)=-,所以f(f(-2))=-;x≤1时,f(x)min=0,x1时,f(x)min=2-6,又2-60,所以f(x)min=2-6.答案:-2-613.(2015高考浙江卷,文13)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=.解析:不妨设b=xe1+ye2,则b·e1=x+=1,b·e2=+y=1,因此可得x=y=,所以|b|=|e1+e2|=.答案:14.(2015高考浙江卷,文14)已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是.解析:设z=|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2x+y-4|+|x+3y-6|,由x,y满足x2+y2≤1,知2x+y-4≤0,x+3y-6≤0,所以z=-3x-4y+10,当直线3x+4y-10+z=0与圆x2+y2=1相切时,z取得最值,此时=1,因此zmax=15.答案:1515.(2015高考浙江卷,文15)椭圆+=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.解析:设左焦点为F1,由F关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,得|OQ|=|OF|,又|OF1|=|OF|,所以F1Q⊥QF,所以F1Q所在直线与y=x平行,所以F1Q:y=(x+c),①把①代入+=1整理得(c2b2+a2b2)x2+2a2b2cx=0,②方程②有一根为x=0,所以Q(0,b).所以b=c,e=.答案:三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)(2015高考浙江卷,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan+A=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解:(1)由tan+A=2,得tanA=,所以==.(2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sinC=sin(A+B)=sinA+,得sinC=.设△ABC的面积为S,则S=absinC=9.17.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,文17)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).(1)求an与bn;(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).由题意知当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n≥2时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(n∈N*).(2)由(1)知anbn=n·2n,因此,Tn=2+2×22+3×23+…+n·2n,2Tn=22+2×23+3×24+…+n·2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).18.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,文18)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)解:作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.因为A1E⊥平面ABC,所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE,所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F,所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB=.由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=.由DE=BB1=4,DA1=EA=,∠DA1E=90°,得A1F=.所以sin∠A1BF=.19.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,文19)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知,点B,O关于直线PD对称.故解得因此,点B的坐标为,.(2)由(1)知|AP|=t·,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.20.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,文20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解:(1)当b=+1时,f(x)=x+2+1,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=-.当-≥1,即a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-1≤-1,即-2a≤2时,g(a)=f-=1.当--1,即a2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t0时,≤st≤,由于-2≤0和-3≤0,所以-3≤b0.故b的取值范围是[-3,9-4].