韦达定理的论文

逐渐被遗忘的数学财富——韦达定理[摘要]:韦达定理是由十六世纪著名的杰出数学家韦达发现的，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。韦达定理的内容具有灵活性、应用广泛性、条件放缩性等特点，在一元二次方程中是一个重点。所以，它能培养学生逻辑思维能力、灵活解决问题能力等。但是，由于各种客观原因，韦达定理已正式得退出学生的教科书，并且逐渐被教师所遗忘。这就造成我们学生们也将失去认识这笔数学财富的机会。所以，我认为教师应借机向学生传授有关韦达定理的知识点。关键词：一元二次方程韦达定理引言在平时的教学过程中，教师们经常会碰到一些需要运用韦达定理的相关题目。但是，由于教科书中已经删除了该块内容，导致讲解此类题目时有很大的困难，学生理解起来也会有很多的迷惑之处。比如前段时间，在初三的一次辅导中，学生碰到了一题考查一元二次不等式的题目，题意如下：已知不等式20axbxc的解集为24xx，则不等式20cxbxa的解集为_____________本题主要考查学生一元二次不等式与一元二次方程的转化，以及整体思想和转换思想的能力。学生要是按照平时的方程解法去做，解题难度会比较大，即使能力强的学生也要花上很长时间才能将解题过程写完整。但是，如果学生能理解并且应用韦达定理的话，此题的解题思路就会显而易见，并能简化解题过程。所以，我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性，是很有必要与意义的。正文任给一个一元二次方程200axbxca，设他的两根为1,2xx，利用求根公式22442bbacxbaca得到根和系数的关系：1212bcxxxxaa且，这就是著名的韦达定理。它描述了方程的根和系数之间的关系，是一元二次方程解法的补充。接下来，我们来归纳一下韦达定理在我们教学中几种典型题型应用。一．已知方程的一根，求另一根例1.已知关于x的方程2250xkx的一根为11112x，求另一根2x和k的值。解析：由韦达定理可知1252xx，所以21511122xx，1212kxx，所以2k。【注释】本题要是按照平时的做法，先将1x带入方程中，求出k值，再用求根公式去求另外一个解，虽然也能得到正确的答案。但是由于方程的根带有根号，计算时难度会加大，而且学生的出错率也会随之增加。但该题由韦达定理求解，明显能减少学生计算量，也能提高正确性。二．对复杂系数的一元二次方程求解例2.已知方程22110xaxaa的两个解为12,xx，请求出12xx的值？解析：根据韦达定理可得1221xxa，121xxaa，所以学生很容易得出12,1xaxa，所以12xx11aa。【注释】：在本题中出现了另一个字母a，部分学生可能比较迷茫，不知道怎么求解。若学生直接采用求根公式进行求解，计算量会很大，而且出现了字母a，可能导致部分学生无法简化根的形式而出错。但是，此题采用韦达定理求解，就能跳过繁琐的计算，直接求出答案。三，已知两根，构造新的一元二次方程例3.已知某一元二次方程的两根为25,35，二次项系数为2，请确定该方程的表达式。解析：设所求方程为220xbxc，由韦达定理可得25352b，25352c。解得10,225bc，所以所求一元二次方程为22102250xx。例4.已知方程220xx，求一个一元二次方程，使它的根分别比第一个方程的两根大2.解析：设所求方程的两个根为12,mm，且11222,2mxmx，由韦达定理可得12121,2xxxx，则121243mmxx12121212222422mmxxxxxx所以2212123220mmmmmmmm。【注释】：上面两题题型考查学生如何构造方程，需要学生有较强的理解和抽象思维能力。但是，初中学生的抽象能力与构造能力很薄弱，很难找到此题的切入点。倘若学生能采用韦达定理，其解题思路是很明显的，而且讲解时学生也很容易理解，能很大程度上降低了难度。四．利用整体思想求代数式的值例5.已知关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根12,xx满足22127xx，求实数21m的值。解析：因为22127xx，所以22112212227xxxxxx即2121227xxxx。根据韦达定理可知1212,21xxmxxm。所以22217mm。解得121,5mm检验:当m=5时，254190，舍去所以1,211mm。例6.若12,xx是方程22340xx的两个实数根，求（1）1211xx的值（2）1221xxxx的值.解析：（1）由韦达定理可知12123,22xxxx，则12121291112xxxxxx。（2）222121212122112122258xxxxxxxxxxxxxx【注释】：上面两题型主要考查了学生韦达定理和整体代入的数学思想，这样就能简化代数式，方便计算。要是学生先将方程的根求出来的话，再代入代数式求值的话，这个过程计算会比较烦，特别是例5中海含有另外一个字母，会降低学生学习的兴趣。五．在一元二次不等式中的求解例7.已知不等式20axbxc的解集为24xx，则不等式20cxbxa的解集为______________解析：由韦达定理可得0a，6ba，8ca，从而推导得出0c，34bc，18ac所以20cxbxa可化为20baxxcc，即231048xx解为1124xx或【注释】：本题由于是一选择题，利用数学中的特殊值法很容易得出答案，但要是能完整写出解题过程的话难度较大，一般的学生很难找到头绪。但是，利用韦达定理进行求解的话，能帮助学生容易找到解题的思路和头绪，并且计算过程也能优化。六．在等式证明中的应用例7.设实数,,xyz满足1111xyzxyz求证：,,xyz中至少有一个数为1.解析：不妨设1z，则由题意可得1,xyzxyz所以由韦达定理可知，,xy为方程210tztz的解。111110xyxyxyzz所以,xy中至少有一个数为1，从条件易知,,xyz具有对称性所以,,xyz中至少有一个为1.【注释】：韦达定理除了应用在一元二次方程中，也在许多证明中有很大的体现。比方该题，虽然有很强的对称性，但是想要证明得到结论并非易事。采用韦达定理能帮助解题者理清思路，明确目标，帮助解决问题。结论韦达定理在现行的教科书和作业题中的作用还是很大的，特别是在一元二次方程中的作用。所以，在现行的教材改革过程中，我们一线教师也应该注重那些被逐渐忽略的数学财富，比方韦达定理等，以上是我对韦达定理的一些见解。