泰勒公式证明及应用

1泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。Taylor’sformulaanditsapplicationTongMei(DepartmentofMathematicsBohaiUniversity，LiaoningJinzhou121000China)Abstract:Mathematicsisaveryimportantdiscipline.Manymathematiciansstudiedallkindsoftheoremandformula,provedtheircorrectness,andappliedthemtosolveanumberofdifficultproblems.Taylorformulaisoneofthem.Taylor’sformulaisaimportantformulainmathematicalanalysis.Itcanbeusedwidelyandconvenientlytosolvetheproblemsinanalysis.Inaddition,itisoneofpowerfultoolstosolveallkindsofmathematicsproblems.ThisarticleprovidesasimpleintroductiontoTaylor’sformula,emphasizesitsvariousapplications,andmakesasystematicandinerraticanalysissummary.Firstly,thisarticleintroducestheTaylortheoremandsomeTaylor’sformulaofdifferent_expressionforms,whichwillbeappliedlater.Next,itistheemphasisofthisarticle--theapplicationofTaylor’sformula.Herenineaspectsareintroduced:studyingtheconvergenceanddivergenceofseriesandtheimproperintegral,usingtheTaylor’sformnlatocalculatelimit,theapproximatecalculationanderrorestimate,determiningandcomparingtheorderofinfinitesimals,theapplicationintheoremproof,provinginequality,andsoon.Throughmanyexampleanalysis,theimportanceandconcisenessofTaylor’sformulainsolvingmathematicsquestionsarewellillustrated.KeyWords:Taylor’sformula;limit;errorestimate;convergentordivergent;inequality.2前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。一、泰勒公式若函数)(xf为n次多项式nnxxaxxaxxaaxf0202010)(（1）逐次求它在0xx处的各阶导数，得nnanxfaxfaxfaxf!,,!2,,0)(201000因而(1)式可写作nnxxnxfxxxfxxxfxfxf00)(200000!!2)((2)由此可见，多项式xf的各项系数由其各阶导数值唯一确定，例如为了把多项式24)(23xxxf表示成以2x为幂次的多项式，先要计算f在2x处的各阶导数。)4(,0)2(,6)2(,4)2(,4)2(,6)2()(nfffffn代入(2)式得到)2)(2()2(xffxf322!322!2)2(xfxf32222246xxx3对于一般函数f来说，若存在直到n阶的导数，则按(2)式右端也能相应地写出一个多项式。把这个多项式记作)(xpn，那么)(xf与)(xpn之间有些什么关系，正是下面泰勒(Taylor)定理所要回答的问题。定理1[1](Taylor定理)若函数f满足如下条件：(i)在开区间),(ba上函数f存在n阶连续导数；(ii)在闭区间ba,内存在f的1n阶导数，则对任何),(bax，至少存在一点),(ba，使得nnaxnafaxafaxafafxf)(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(nnaxnf(3)(3)式称为函数)(xf在点ax处的n阶泰勒公式，xpn=nnxxnxfxxxfxxxfxf00)(200000!!2)(称为n次泰勒多项式，)(xRn=1)1()()!1()(nnaxnf称为f在ax处的泰勒公式余项。（一）、带拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式当0n时，定理1就是拉格朗日定理,因此，把1)1())(()!1(1)(nnnaxfnxR(4)称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项，(3)式称为带拉格朗日余项的泰勒公式，也称为有限增量的泰勒公式，它研究函数在较大范围内的性质，特4别地，泰勒公式(3)在00x时，称为带拉格朗日余项的马克劳林(Maclaurin)公式，也就是)(!)0()0()0()()(xRxnfxffxfnnn(5)其中，1)1()!1()()(nnnxnfxR，bx0注记[4]与拉格朗日中值定理那里的讨论类似，如果令axa，那么10)(axa，于是拉格朗日型余项可以写成1)1()()!1())(()(nnnaxnaxafxR，)10(1)1()()!1(1)(nnnxxfnxR，)10(（二）、带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式由于拉格朗日余项形式比较复杂，我们考虑用更简单的形式表示，若函数f在点a可导，则由有限增量公式有：))(())(()()(axoaxafafxf(6)这说明在点a附近，函数f可用一次多项式近似表示，其误差为关于)(ax的高阶无穷小量。又由泰勒定理1看到，若f的)1(n阶导数)1(nf为ba,上有界函数，则由(4)式有)(,))(()()!1()()(1)1(axaxoaxnfxRnnnn，即在点a附近用f的n阶泰勒多项式)(xpn近似表示时，其误差为关于nax)(的高阶无穷小量，从而n越大近似的程度越高。5下面定理将给出定理1较弱条件下，函数f在点a附近能用多项式)(xpn来逼近的结论。定理2若函数f在点a的某邻域)(aU内具有1n阶导数，且)()(afn存在，则))(()(!)()(!2)())(()()()(2nnnaxoaxnafaxafaxafafxf其中Ux)(a(7)称))(()(nnaxoxR为泰勒公式(7)的皮亚诺余项，(7)式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式，因为(7)式是无穷小增量公式的推广，所以也称带小o余项的泰勒公式[3]。特别地，当0a时，我们称相应的表达式为带皮亚诺余项的马克劳林公式或者带小o余项的马克劳林公式。（三）、带积分型余项的泰勒公式利用分部积分法也能导出泰勒公式的余项的一种表示——余项的积分表示[3]。定理3设函数f在区间I有1n阶连续导数，Ixa,，则)(!1)()()(axafafxf10)1(1)())(()1(!)()(!)(dtaxtaftnaxaxnafnnnnn(8)换句话说，在这种情况下，泰勒公式的余项表示为10)1(1))(()1(!)()(dtaxtaftnaxxRnnnn(9)(8)式称为带积分型余项的泰勒公式，(9)式称为积分形式的余项。特别6地，当0a时，我们称之为带积分余项的马克劳林公式：10)1(1)()0()1(!!)0(!1)0()0()(dtftnxxnfxffxfnnnnn（四）、带柯西型余项的泰勒公式在定理3中，对余项10)1(1))(()1(!)()(dtaxtaftnaxxRnnnn用积分中值定理可得)10(,)))(((!)1()(1)1(nnnnaxaxafnxR这种形式的余项称为柯西型余项，我们得到了带柯西型余项的泰勒公式：nnaxnafaxafafxf)(!)()(!1)()()()(1)1()))(((!)1(nnnaxaxafn，)10(特别地，当0a时，我们称之为带柯西型余项的马克劳林公式：1)1()()0(!)1(!)0(!1)0()0()(nnnnnxfnxnfxffxf二、泰勒公式的应用（一）、用泰勒公式研究级数和广义积分的敛散性1、级数的敛散性例1判断正项级数1)0(11npnpne的敛散性。分析我们先从一个特殊的问题说起：判断正项级数72111nnne的敛散性。注意到数列nn11严格递增趋于e，而数列111nn严格递减趋于e，因此有2121111110nnnnnne)(11112222Nnnenn由比较判别法可知1211nnne收敛。这一方法是否具有普遍性？不妨再考虑1p的情况，此时若仍采用上述“放大”方法，就有nennnnnennn11111111101，Nn但11nn是发散的，故得不出结果，若将e“缩小”，同样也得不出结果，看来，即使当1p时上述方法也已碰到很大困难，更不用说是对于0p的一般情况了。解决这一问题的一个有效工具是利用带Peano余项的泰勒公式：先将通项na适当展开，再用等介量法或其他方法判敛，值得指出的是，初学者往往会疏忽或是不习惯使用泰勒公式，但事实上，在级数的判敛问题中，泰勒公式是经常用到的。8回到例1中，考虑2