高考数学空间向量与立体几何总复习

空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建二、课标及考纲要求空间向量与立体空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程②了解空间向量的概念、基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间①理解直线的方向向量与平面的法向量空间向量的定义及其运算空间向量运算的几何表示（如平行四边形法则）用空间向量表示点、线、面等元素建立空间图形与空间向量的联系利用空间向量运算解决立体几何问题空间向量运算的坐标表示（加减法、数乘、数量积）空间向量定义运算坐标表示加法减法数量积立体几何中的向量方法垂直关系平行关系空间距离空间角几何向量的运用②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用三、知识要点及考点精析（一）空间向量及其运算1．空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等．2．空间向量的线性运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即a+b=b+a；②结合律，即()()a+bcab+c；③分配律，即()a=a+a及()a+bab（其中，均为实数）．（2）空间向量的基本定理①共线向量定理：对空间向量，ab(0)，bab∥的充要条件是存在实数，使a=b．②共面向量定理：如果空间向量，ab不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数xy，，使c=xya+b．③空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使xyzp=a+b+c．其中{}，，abc是空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{}，，abc惟一线性表示（线性组合）．（3）两个向量的数量积两个向量的数量积是ab=|a||b|cosa,b，数量积有如下性质：a,b,c①ae=|a|cosa,e（e为单位向量）；②aaab=0；③aa=|a|2；④|ab||a||b|．数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即（a）b=（ab）；③分配律，即（a+b）c=ac+bc．3．空间向量的坐标运算（1）给定空间直角坐标系xyzO和向量a，存在惟一的有序实数组使123aaaa=i+j+k，则123()aaa，，叫作向量a在空间的坐标，记作123()aaa，，a=．（2）空间向量的直角坐标运算律①若123123()()aaabbb，，，，，a=b=，则a+b112233()ababab，，，ab112233()ababab，，，123()aaa，，a，ab),,(332211bababa．112233()abababR，，ab∥，1122330abababab⊥．②若111222()()AxyzBxyz，，，，，，则212121()ABxxyyzz，，．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．4．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OAa，则点A在空间的位置被a所惟一确定，a称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量tAPa，则此向量方程称为动点P对应直线l的参数方程，向量a称为直线l的方向向量．典型例题分析：例1．若AB=(x2,1,3),CD=(1,-y2,9),如果AB与CD为共线向量,则()A．1x，1yB．21x,21yC．61x,23yD．61x,23y答案:C例2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(-1，0，2)，且ka＋b与2a-b互相垂直，则k的值是()A．1B．51C．53D．57答案:D例3．已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量．解:设平面ABC的法向量n=(x,y,1),则n⊥AB且n⊥AC,即n·AB=0,且n·AC=0,即,0354,0122yxyx即,1,21yx∴n=(21,-1,1),单位法向量n=±(31,-32,32)．（二）立体几何中的向量方法1．利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系设直线1l的方向向量是1u111()，，abc，直线2l的方向向量是2u222()abc，，，平面的法向量是1v111()xyz，，，平面的法向量是2v222()xyz，，，则有如下结论成立：（1）12∥llu1∥u2u1k2u212121,,kcckbbkaa；（2）12ll12120·uuuu1212120aabbcc；（3）1l∥11110·uvuv1111110axbycz；（4）1l111∥uvuk1v111111,,kzckybkxa；（5）121∥∥vvvk2v121212，，xkxykyzkz；（6）12120·vvvv1212120xxyyzz．第一部分：平行问题①利用空间向量解决线线平行问题（06山东模拟）已知直线OA平面，直线BD平面，OB，为垂足．求证：OABD∥．证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，如图1，建立空间直角坐标系Oxyz，，，ijk为沿，，xyz轴的单位向量，且设BD()xyz，，．BD∵，BD∴i，BDj，()(100)0BDxyzx，，，，i∴··，BDj·()(010)0xyzy，，，，·．(00)BDz，，∴，BDzk∴·．BDk∴∥，即OABD∥．点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明OABD即可．②利用空间向量解决线面平行问题③利用空间向量解决面面平行问题例题：第二部分：垂直问题①利用空间向量解决线线垂直问题②利用空间向量解决线面垂直问题（2005年高考题）如图2，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，312ABBCPAE，，，为PD的中点，在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC解：如图2，在以A为原点的空间直角坐标系中，1(310)(010)(002)012CDPE，，，，，，，，，，，．设11(310)(002)2NExzACAP，，，，，，，，．由NE面PAC，得00NEACNEAP，，··即133026101xxzz，，．3016N，，∴．点评：按照传统方法，要构造三条辅助线，多解两个三角形，画图、看图以及计算都增加了难度．用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了难度．③利用空间向量解决面面垂直问题（07北京海淀）如图3，在正方体1111ABCDABCD中，O为AC与BD的交点，G为1CC的中点，求证：平面1ABD平面GBD．分析：要证明平面1ABD平面GBD，只要证明平面内的一条直线1AO垂直于平面GBD中的两条相交直线即可，而从图中观察，证11AOBDAOOG，较容易成功．证明：设11111ABADAA，，abc．则000abbcac，，···．而11111()()22cabAOAAAOAAABAD，baBDADAB，11111()()2222abcOGOCCGABADCC，1AOBD∴·221()02cbcaba··，1AOOG∴·22211()042abc．1AOBD∴，1AOOG．又BDOGO∵，1AO∴平面BDG．又1AO平面1ABD，∴平面1ABD平面GBD．点评：向量a垂直于向量b的充要条件是ab0，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直．在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零．2．利用空间向量解决空间距离问题（1）利用空间向量求线线距离如图1，若CD是异面直线ab，的公垂线段，AB，分别为ab，上的任意两点．则两异面直线ab，间的距离为ABdnn·（其中n与ab，垂直，AB，分别为两异面直线上的任意两点）．例题：如图2，在正方体1111ABCDABCD中，E为11AB的中点．求异面直线1DE和1BC间的距离？解析：设正方体棱长为2，以1D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则11(210)(202)DECB，，，，，．设1DE和1BC公垂线段上的向量为(1)，，n，则1100DECB，，··nn即20220，，21，．∴(121)，，∴n．又11(020)DC，，，1142636DCnn·∴，所以异面直线1DE和1BC间的距离为263．（2）利用空间向量求点面距离如图3，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量．则点A到平面的距离ABACnn·．例题：如图4，已知111ABCABC是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点．求点C到平面1ABD的距离．解析：11ABBA∵为正方形，11ABAB∴．易得平面1ABD平面11ABBA，1AB∴面1ABD，1AB∴是平面1ABD的一个法向量．设点C是平面1ABD的距离为d，则111()0cos602422ACABACAAABaadaaaAB··°（3）利用空间向量求线面、面面距离注意：利用空间向量求线面、面面距离的问题显然可以转换成利用空间向量求点面距离的问题例题：如图5，已知边长为42的正三角形ABC中，EF，分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且2PA，设平面为PF且与AE平行．求AE与平面间的距离？解析：设APAEEC，，的单位向量分别为123，，eee，选取123eee，，作为空间向量的一个基底．易知1213230eeeeee···，123123122622()2622eeeeee，，，APAEECPFPAAEEC．设123neeexy是平面的一个法向量，则nn，AEPF．00nn，．·∴·AEPF即222221232602620yexeyee，022yx，，1322nee∴．∴直线AE与平面间的距离113221322223322eeeAPnneed··．例题：如图6，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中．求平面1ABC与平面11ACD间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面1ABC与平面11ACD平行．设平面11ACD的一个法向量(1)xy，，n，则1100DADC，，··nn，即(1)(101)01(1)(011)01xyxxyy，，，，，，，，，，，··(111)，，∴n．∴平面1ABC与平面11ACD间的距离222(100)(111)33(1)(1)1ADd，，，，··nn．3．利用空间向量解决空间角问题（1）利用空间向量求线线角设两异面直线ab，所成的角为，，ab分别是ab，