独立事件的概率(一)

第1页（共17页）相互独立事件同时发生的概率【教学目的】1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式；3．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想；【教学重点】用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；【教学难点】互斥事件与相互独立事件的区别；相互独立事件的判断；【教学用具】投影仪、多媒体电脑等。【教学方法】引导法——引导学生逐步认识相互独立事件及其同时发生的概率。【教学过程】[设置情境]（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，设摸到一个球是白球的事件为A，摸到一个球是黑球的事件为B，问A与B是互斥事件呢，还是对立事件？（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件B．问A与B是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？（3）在问题（2）中，若记事件A与事件B同时发生为BA，那么BAP与AP及BP有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？[探索研究]1．独立事件的定义我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个第2页（共17页）事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都是相互独立的．2.事件A·B：事件A与B同时发生就记作A·B3．独立事件同时发生的概率的计算公式“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A、B同时发生，即BA．这样我们需要研究，上面两个相互独立事件A，B同时发生的概率BAP是多少？从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果，于是从两个坛子里各摸出1个球，共有45种等可能的结果，表示如下：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率．4523BAP另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率53AP从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率42BP由42534523，我们看到BPAPBAP第3页（共17页）这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．一般地，如果事件1A，2A，…，nA相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：nnAPAPAPAAAP2121例1一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况．记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B．试问A与B是不是相互独立事件？（由一名学生回答后，教师讲解）答：不是．因为事件A发生时（即第一个取到的是白球），事件B发生的概率31BP；而当事件A不发生时（即第一个取到的是黑球），事件B发生的概率32BP．也就是说，事件A的发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。例2如果事件A与事件B是互斥事件，下列四个命题中哪些是正确的？为什么？（1）A与B是对立事件；（2）A与B是互斥事件；（3）A与B是相互独立事件；（4）A与B是相互独立事件．（由学生自答后，教师说明理由）答：都不正确．A与B为互斥事件是A与B为对独立事件的必要不充分条件，因而①不成立；互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是可以同时发生的两个事件，则④不成立；由此可知③也不成立；事件A、B互斥，从集合的角度看，是A、B各自的结果组成的集合的交集为空集，而A、B各自结果组成的集合的交集并非一定等于空集，因此②也不成立．例3制造一种零件，甲机床的正品率是9.0，乙机床的正品率是95.0，从它们制造的产品中各任抽1件．第4页（共17页）（l）两件都是正品的概率是多少？（2）恰有1件是正品的概率是多少？解：记“从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品”为事件A，“从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品”为事件B，由于甲（或乙）机床制造正品与否，对乙（或甲）机床生产正品的概率没有影响，因此A与B是相互独立事件．（1）“两件都是正品”就是事件BA发生，因此所求概率为855.095.09.0BPAPBAP（2）“恰有一件是正品”包括两种情况：甲是正品，乙是次品（事件BA发生）；甲是次品，乙是正品（事件BA发生），因此所求的概率是BAPBAPBPAPBPAP95.09.0195.019.014.0或另解为：所求的概率为：BAPABP19.0195.01855.0114.0[演练反馈]1．对于某数学问题，甲、乙两人独立解出该题的概率分别为32、54，求两人都解出该题的概率．（由一名学生板演后，教师强调两个事件是相互独立事件）2．制造一种产品需要经过三道相互独立的工序，第一道工序出一级品的概率为9.0，第二道工序出一级品的概率为95.0，第三道工序出一级品的概率92.0，试求这种产品出一级品的概率？（由一名学生板演后，教师讲解）3．有两批种子，其发芽率分别为9.0和8.0，在每批种子里各随机抽取一粒，求：（1）至少有一粒发芽的概率．（2）恰好有一粒发芽的概率．第5页（共17页）[参考答案]1．提示：1585432P；2．提示：92.095.09.0P7866.03．（l）提示：8.019.011P2.01.0198.0（2）提示：8.019.08.09.01P26.0[总结提炼]两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．板书设计10．7相互独立事件同时发生的概率（一）（一）设置情境问题1问题2（二）相互独立事件同时发生的概率（三）例题分析例1例2例3练习（四）小结1．互斥事件与相互独立事件有何区别？两事件互斥是指同一次试验中两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指两个试验中两个发生的概率互不影响。2．下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？为什么？（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的面是2点”；（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；（3）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到白球”与“从中任意取出1个球，得到黑球”；（4）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到第6页（共17页）白球”与“在剩下的4个球中，任意取出1个球，得到黑球”。3．已知A、B是两个相互独立事件，P（A）、P（B）分别表示它们发生的概率，则：1-P（A）·P（B）是下列那个事件的概率A．事件A、B同时发生；B．事件A、B至少有一个发生；C．事件A、B至多有一个发生；D．事件A、B都不发生；4.在某段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内，两地都不下雨的概率。（0.56）六、课后小结：要学会对事件的“相互独立性”的判断；要会用相互独立事件同时发生的概率积公式求某些事件的概率。七．课后作业：课本P139习题11.3：1，2，3第7页（共17页）10．7相互独立事件同时发生的概率第二课时教学目标：复习相互独立事件的定义和相互独立事件同时发生的概率；了解概率的和与积的互补公式；能利用对立事件、互斥事件的概率简化某些计算．教学过程：[设置情境]有三批种子，其发芽率分别为9.0、8.0和7.0，在每批种子中各随机抽取一粒，求至少有一粒种子发芽的概率．分析：设第一批种子发芽为事件A，同样第二、三批种子发芽分别为事件B、C，设至少有一粒种子发芽为事件D，则CBACBACBACBADCBACBACBA又其中CBA、CBACBA互斥，所以CBAPCBAPCBAPCBAPDPCBAPCBAPCBAP又A、B、C相互独立，所以054.03.02.09.0CPBPAPCBAP同理可算出等号右边的其他各项．师问：这种计算方法复杂吗，是否可以找到更简单的解法呢？[探索研究]1．概率的和与积的互补公式一般地，对于n个随机事件1A，2A，…，nA，事件nAAA21表示事件1A，2A，…，nA至少有一个发生，nAAA21表示事件1A，2A，…，nA都发生，即1A，2A，…，nA都不发生．显然nAAA21与nAAA21是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等于1，可得第8页（共17页）nnAAAPAAAP21211这个公式叫做概率的和与积的互补公式，它在概率的计算中常用来简化计算．利用这个公式，上面至少有一粒种子发芽的概率为CBAPCBAPDP1CPBPAP13.02.01.01994.02．例题分析例1甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是6.0．计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率．解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率没有影响，因此A与B是相互独立事件．（l）“两人各射击一次，都击中目标”就是事件BA发生，因此所求概率为36.06.06.0BPAPBAP（2）“两人各射击一次，恰有一人击中目标”包括两种情况：甲击中，乙未击中（事件BA发生）；甲未击中，乙击中（事件BA发生），因此所求概率为：BPAPBPAPBAPBAP6.06.016.016.048.0（3）解法1：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为BAPBAPBAPP48.036.0第9页（共17页）84.0解法2：“两人都未击中目标”的概率是为BPAPBAP6.016.0116.0因此“至少有一人击中目标”的概率为84.016.011BAPP例2如图10-13，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是7.0，计算这段线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内AJ、BJ、CJ能够闭合为事件A、B、C，由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是CPBPAPCBAPCPBPAP111