函数的凹凸性与拐点的定义与求法

一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC定义;),()(,2)()()2(,,),(,),()(212121内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxfxfxfxxfxxbabaxf;),()(,2)()()2(,,),(212121内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对baxfxfxfxxfxxba;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证,)(二阶可导xf,)(存在且连续xf,])([)(0两边变号在则xxfxf,))(,(00是拐点又xfx,)(0取得极值在xxf,条件由可导函数取得极值的.0)(xf方法1:,0)(,)(00xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx例2.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数xfyxfxxfxfxxf例3.)]2,0([cossin的拐点内求曲线xxy解,sincosxxy,cossinxxy.sincosxxy,0y令.47,4321xx得2)43(f,02)47(f,0内曲线有拐点为在]2,0[).0,47(),0,43(.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:例4.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy四、小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法1,2.思考题设)(xf在),(ba内二阶可导，且0)(0xf，其中),(0bax，则,(0x))(0xf是否一定为曲线)(xf的拐点？举例说明.思考题解答因为0)(0xf只是,(0x))(0xf为拐点的必要条件，故,(0x))(0xf不一定是拐点.例4)(xxf),(x0)0(f但)0,0(并不是曲线)(xf的拐点.一、填空题：1、若函数)(xfy在（ba,）可导，则曲线)(xf在(ba,)内取凹的充要条件是____________.2、曲线上____________的点，称作曲线的拐点.3、曲线)1ln(2xy的拐点为__________.4、曲线)1ln(xy拐点为_______.二、求曲线xeyarctan的拐点及凹凸区间.三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：22yxyxeee)(yx.四、求曲线2sin2cot2ayax的拐点.练习题五、试证明曲线112xxy有三个拐点位于同一直线上.六、问a及b为何值时，点(1,3)为曲线23bxaxy的拐点？七、试决定22)3(xky中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点.一、1、),()(baxf在内递增或0)(),,(xfbax；2、凹凸部分的分界点；3、]2,(),,2[),2,2(2e；4、)2ln,1(),2ln,1(.二、拐点),21(21arctane,在]21,(内是凹的,在),21[内是凸的.四、拐点)23,332(aa及)23,332(aa.五、).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1(练习题答案六、29,23ba.七、82k.