函数的单调性与导数-题型分类讲解

3.3.1函数的单调性与导数1.用导数判断函数单调性的法则设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是增函数；(2)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是减函数．即函数f(x)在区间(a,b)内：f(x)在(a,b)内单调递减f(x)在(a,b)内单调递增0)(xf0)(xff(x)在(a,b)内单调递增f(x)在(a,b)内单调递减0)(xf0)(xf2.上述结论可用图来直观理解．2．求函数的单调区间的方法求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是所求的单调区间．求函数单调区间的步骤如下：(1)求f(x)的定义域；(2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)可得函数的增区间(或减区间)．3．判断函数的单调性的方法判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法：(1)求f(x)的定义域；(2)求出f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论．[特别提醒]若无穷多个点使f′(x)＝0，那么这些点必须是离散的，不能构成区间．求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，x∈(0,2π)[解题过程](1)f′(x)＝1－3x2，令1－3x20，解得－33x33.因此，函数f(x)的单调增区间为－33，33.令1－3x20，解得x－33或x33.因此，函数f(x)的单调减区间为－∞，－33，33，＋∞.(2)f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝2sinx＋π4＋1.令2sinx＋π4＋10，得0xπ或3π2x2π.因此函数的单调增区间为(0，π)与3π2，2π.令2sinx＋π4＋10，得πx3π2，因此函数的单调减区间为π，3π2.[题后感悟](1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)0或f′(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调减区间不能写成(0，π)∪3π2，2π.(3)要特别注意函数的定义域．1.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝exx－2；(2)f(x)＝4x＋1x.解析：(1)函数的定义域是{x|x≠2}，f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22，令f′(x)＞0，解得x＞3；令f′(x)＜0，解得x＜3且x≠2，所以函数的单调递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，2)和(2,3)．(2)由于f(x)＝4x＋1x，则函数的定义域是{x|x≠0}，而f′(x)＝4－1x2，令f′(x)＞0，解得x＞12或x＜－12；令f′(x)＜0，解得0＜x＜12或－12＜x＜0，故函数f(x)的单调递增区间是12，＋∞和－∞，－12；单调递减区间是0，12和－12，0.证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．[策略点睛][解题过程]证明：f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.∵0x2，∴lnxln21,1－lnx0.∴f′(x)＝1－lnxx20.根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．[题后感悟](1)如何利用导数判断或证明函数的单调性？利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)0(f′(x)0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．(2)注意事项：如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．.已知a0，且a≠1，证明函数f(x)＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．证明：∵f′(x)＝axlna－lna＝lna(ax－1)，x0.∴当a1时，∵lna0，ax1，∴f′(x)0，即f(x)在(－∞，0)内是减函数；当0a1时，∵lna0，ax1，f′(x)0，即f(x)在(－∞，0)内是减函数．综上，函数f(x)在(－∞，0)内是减函数．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．3.已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]．若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解析：由已知得f′(x)＝2a＋2x3，∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．练习.(1)若函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0)的单调递减区间为(0,4)，求k的值.(2)若函数f(x)=x3-ax2-1在R上单调递增，求a的取值范围.思考：是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由。一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.题型四.导数和函数的图像函数f(x)的图象如图所示,画出导函数图象的大致形状.xyo'()yfx2xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfx(A)(B)(C)(D)练习：函数的图象如左图所示,则y=f(x)的图象可能的是()'()yfx作业.)0()(.1的单调区间求函数kxkxxf3.证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．.a2-3--1ln2a)(.22的取值范围求实数上单调递增，，）在区间（已知函数xxxf