结构可靠度例题

例题一某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值µR=2.34×103kN•mµS=1.16×103kN•m方差σR=0.281×103kN•mσS=0.255×103kN•m现假设R,S均服从正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率。解:将已知数据代入β=µR−µS√σR2+σS2=2.34×103−1.16×103√(0.281×103)2+(0.255×103)2=3.109查标准正态分布表Ф(3.109)=0.99905，Pf=Ф(-β)=1-Ф(β)=1-Ф(3.109)=1-0.99905=0.00095。例题二某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值µR=2.34×103kN•mµS=1.16×103kN•m方差σR=0.281×103kN•mσS=0.255×103kN•m现假设R,S均服从对数正态分布,试求其可靠指标β和对应的失效概率Pf。解：β≈lnµR−lnµS√δR2+δS2δR=σRµR=0.2812.34=0.12δS=σSµS=0.2551.16=0.22β≈lnµR−lnµS√δR2+δS2=β≈ln(2.34×103)−ln(1.16×103)√0.122+0.222=2.80Pf=Ф(-β)=1-Ф(β)=1-Ф(2.80)=1-0.99740=0.0026。例一和例二表明：随即变量分布类型，对失效概率或结构可靠指标计算是有影响的。分析结果表明：Pf≥10−3(β≤3.09)时，Fz(z)的分布类型对Pf的影响不敏感，即Z假设什么样的分布,计算出的Pf都在同一数量级上，其精度足够了。Pf大时，Z可以不考虑其实际分布形式，采用合理又方便的分布形式来计算Pf。这样计算简便，得到工程上接受的结果。但Pf＜10−5(β＞4.26)时Fz(z)的分布类型对Pf的影响十分敏感，计算Pf时必须考虑起分布,否则得到误差大或得到错误结果。例题三若钢梁承受的确定性弯矩M=210kN•m，钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知其分布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，µW=692cm3，δW=0.02屈服强度f：正态分布，µf=390MPa，δf=0.07用中心点法和验算点法计算该钢梁的可靠指标β及f和W的验算点之值f﹡和W﹡。解：1中心点法(1)采用抗力作为功能函数Z=fW-M=fW-210kN•mµZ=µfµW-µM=µfµW-210=59.88kN•mσZ=√(µfσW)2+(µWσf)2=√µf2µW2(δW2+δf2)=√(390×692000)2(0.022+0.072)=19.65×106N•mmβ=µZσZ=3.047(2)采用应力作为功能函数Z=f-MWµZ≈µf-MµW=86.5MPaσZ=√(σf)2+(MµW2σW)2=√(µfδf)2+(MµWδW)2=√(390×0.07)2+(210×106692×103×0.02)2=27.97MPaβ=µZσZ=3.0932验算点法验算点法计算步骤:(1)列出极限状态方程g(X1，X2，…，Xn)=0,并给出所有基本变量Xi的分布类型和统计参数µxi和σxi；(2)假定Xi﹡和β的初始值，一般取Xi﹡的初始值为Xi的均值µxi，相当于β初始值为0；(3)求极限状态方程对各基本变量Xi的偏导数，并用Xi﹡的值代入，得到方向余弦cosθXi=-∂g∂xi∣p﹡•σxi√∑(∂g∂xi∣p﹡•σxi)2n1(4)按公式g(µXi+βσXicosθXi^)=0求解β；(5)计算新的Xi﹡值Xi﹡=µXi+βσXicosθXi^重复第3步到第5步计算，直到前后两次计算的β在容许误差范围内(0.001)。按抗力列功能函数极限状态方程Z=g(f,W)=fW-210×106(N•mm)σf=µfδf=390×0.07=27.30MPaσw=µwδw=692×0.02=13.84MPa由g(X1﹡，X2﹡，…，Xn﹡)=0(P﹡验算点处坐标)Xi﹡=µi+Xi^﹡×σXi=µi+βσXicosθXi^−∂g∂f∣p﹡σf=-W﹡×27.30，−∂g∂w∣p﹡σw=-f﹡×13.84，cosθf=-∂g∂f∣p﹡•σf√(∂g∂f∣p﹡•σf)2+(∂g∂w∣p﹡•σw)2=−27.3W﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2(a)cosθw=-∂g∂w∣p﹡•σw√(∂g∂f∣p﹡•σf)2+(∂g∂w∣p﹡•σw)2=−13.84f﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2(b)f﹡=µf+βσfcosθf=390+27.3βcosθf(c)W﹡=µw+βσwcosθw=692+13.84βcosθw(d)由Z=g(f﹡,W﹡)=f﹡•W﹡-210000(N•m)将(c)，(d)代入简化后得：β2cosθfcosθw+β(50cosθf+14.29cosθw)+158.4=0(e)现用迭代法求解β第一次迭代：①取f﹡=µf=390(MPa)，W﹡=µw=692(cm3)②求cosθf，cosθwcosθf=−27.3W﹡√(27.3W﹡)2+(−13.84f﹡)2=−27.3×692√(27.3×692)2+(13.84×390)2=-0.9615cosθw=−27.3f﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2=−13.84×390√(27.3×692)2+(13.84×390)2=-0.2747验算cos2θf+cos2θw=1③cosθf，cosθw代入(e)得0.2642β2-51.97β+158.4=0解得β=3.095第二次迭代：①f﹡=µf+βσfcosθf=390+27.3×3.095×(-0.9615)=309W﹡=µw+βσwcosθw=692+13.84×3.095×(-0.2747)=680②cosθf=−27.3W﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2=−27.3×680√(27.3×680)2+(13.84×309)2=-0.9745cosθw=−27.3f﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2=−13.84×309√(27.3×680)2+(13.84×309)2=-0.2245验算cos2θf+cos2θw=1③代入(e)得2188β2+51.9β+158.4=0解得β=3.092，与第一次β相差0.003＜0.01。第三次迭代：①f﹡=308(MPa)，W﹡=682(cm3)②cosθf=-09748，cosθw=-0.2232③β=3.092与第二次迭代相同，其实第二次结果已满足工程精度。④故求得β=3.092，f﹡=308(MPa)，W﹡=682(cm3)查表得失效概率Pf=1-Ф(3.092)=1-0.9993=0.0007。讨论：(1)中心点法由于采用不同的功能函数计算结果不一致,但两种功能函数是完全等价的；(3)极限状态方程是非线性的例题四承受恒载作用的薄壁型钢梁，极限状态方程为Z=g(f，W，M)=fW-M=0，其中f﹑W、M都按随机变量考虑,已知他们的分布类型和统计参数：弯矩M：正态分布，µM=13kN•m，σM=0.91kN•m；抵抗矩W：正态分布，µW=54.72cm3，σw=2.74cm3；钢材强度f：正态分布，µf=380MPa，σf=30.4MPa。试求该梁的可靠指标β及相应的失效概率Pf。解：三个正态变量的非线性方程。−∂g∂f∣p﹡σf=30.4W﹡MPa−∂g∂w∣p﹡σw=-2.74f﹡cm3−∂g∂M∣p﹡σM=910(kN•mm)cosθf=−30.4W﹡√(30.4W﹡)2+(2.74f﹡)2+9102cosθW=−2.74f﹡√(30.4W﹡)2+(2.74f﹡)2+9102cosθM=910√(30.4W﹡)2+(2.74f﹡)2+9102f﹡=µf+βσfcosθf=380+30.4cosθf(MPa)W﹡=µw+βσwcosθw=54.72+2.74βcosθw(cm3)M﹡=µM+βσMcosθM=13000+910βcosθM(kN•mm)代入极限状态方程：f﹡W﹡−M﹡=0化简后得83.3β2cosθfcosθw+β(1041cosθw+1664cosθf-910cosθM)+7793.6=0假定f﹡、W﹡的初值为f﹡=380，W﹡=54.72求得30.81β2-2163.3β+7793.6=0解得β=3.81f﹡=290.9W﹡=49.69M﹡=14459重复第二次迭代：f﹡=290.9W﹡=49.69M﹡=14459cosθf=-0.781cosθw=-0.412cosθM=0.470226.81β2-2156β+7793.6=0解得β=3.79第三次迭代：f﹡=289.2W﹡=50.44M﹡=14622解得β=3.80(可认为已收敛)失效概率Pf=1-Ф(3.80)=7.235×10−5。比较中心点法计算结果差异：µZ=µfµW-µM=380×54.72-13000=7793.6(kN•mm)σz=√(µwσf)2+(µfσw)2+σM2=√(54.72×30.4)2+(380×2.74)2+9102=2163.2β=µZσz=7793.62163.2=3.60，Pf=1-Ф(3.60)=1.591×10−5。β中β验=3.603.80=0.947，相差10左右％。例题五若钢梁承受的确定性弯矩M=210kN•m，钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知其分布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，µW=692cm3，δW=0.02屈服强度f：对数正态分布，µf=390MPa，δf=0.07计算该钢梁的可靠指标β及f和W的验算点之值f﹡和W﹡。解：功能函数为Z=g(f，W，M)=fW-M=fW-210×106=0(N•mm)f为对数正态变量，需要在验算点P﹡(f﹡，W﹡)处转换为当量正态变量，µf,=f﹡×(1-lnf﹡+lnµf√1+δf2)=f﹡(6.9637-lnf﹡)σf,=f﹡√ln(1+δf2)=0.07f﹡cosθf=−W﹡σf,√(W﹡σf,)2+(f﹡σw)2cosθW=−f﹡σf,√(W﹡σf,)2+(f﹡σw)2f﹡=µf+σf,βcosθf=µf,+σf,βcosθfW﹡=µW+σWβcosθW=692+13.84βcosθW代入方程f﹡W﹡-M=0化简得σf,β2cosθfcosθW+β(50σf,cosθf+µf,cosθW)+50µf,-15173=0采用迭代法计算f﹡=µf，W﹡=W﹡，相当β=0计算如下表迭代次数Xiβ0Xi﹡σXi,µXi,cosθXiβΔβ1fW039069227.313.84389692-0.9615-0.27473.0502fW3.05308.968021.6313.84380.1692-0.9625-0.27963.4020.3523fW3.402309.467721.6613.84380.2692-0.9599-0.28033.4060.004失效概率Pf=1-Ф(3.406)=3.3×10−4。用中心点法(假设Z为正态分布)计算得β=3.047。第四节桥梁结构可靠度设计初步可靠性设计就是已知确定的设计(目标)可靠指标，求出抗力R，然后进行截面设计。若抗力R和荷载效应S为正态分布，已知荷载效应S的统计参数µs和δs，以及抗力的变异系数δRµR-µS=β√σR2+σS2=β√(µRδR)2+(µSδS)2当给定可靠指β0时，可求得µR，进而进行截面设计。对于受弯构件截面抗力R=f﹡W，其均值µR=µfµW，当已知材料的强度µf时，即可求出截面的抵抗矩均值µW。极限方程为非线性，或设计变量含有非正态变量，求µR的过程就是求可靠指标的逆运算。其中包含求验算点坐标P﹡及当量正态化的双重迭代计算，计算非常复杂，需要利用计算程序完成。例题六钢桁架下弦杆承受的拉力N服从正态分布，µN=320kN，δN=0.22，截面抗力服从正态分布，根据对钢拉杆的统计分析，设抗力的变异系数δR=0.12，钢材的屈服强度f的均值