考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

圆学子梦想铸金字品牌-1-温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()fx满足22()2(),(2).8xeexfxxfxfx则x0时,f(x)（）.A有极大值，无极小值.B有极小值，无极大值.C既有极大值又有极小值.D既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选D.由题意知2332()2()()xxefxexfxfxxxx-¢=-=，x2x22g(x)e2xf(x),g'(x)e2xf'(x)4xf(x2(()2())22(1).)xxxxexfxxfxeeexx则令¢==--+=-=-=--由()0gx¢=得2x=,当2x=时,222min()2208egxe=-创=即()0gx³,则当0x时,3()()0gxfxx¢=?,故()fx在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）圆学子梦想铸金字品牌-2-相同已知函数0),1ln(0,2)(2xxxxxxf，若axxf|)(|，则a的取值范围是（）A.]0,(B.]1,(C.]1,2[D.]0,2[【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|xf在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0x时，xxxfxg2|)(|)(2，22)(xxg，2)0(g，故2a.当0x时，)1ln(|)(|)(xxfxg，11)(xxg由于)(xg上任意点的切线斜率都要大于a，所以0a，综上02a.3.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()fxxaxbxc，下列结论中错误的是（）A.0xR，0()0fxB.函数()yfx的图象是中心对称图形C.若0x是()fx的极小值点，则()fx在区间0(,)x单调递减D.若0x是()fx的极值点，则0()0fx【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0∈R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量(,)amn将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得圆学子梦想铸金字品牌-3-(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对x∈R恒成立,故3m+a=0,得m=-3a,n=m3+am2+bm+c=f3a,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,33aaf,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于()fx=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1x0,则f(x)在区间(-∞,x0)上不单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有0()0fx.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a+bx+fxxxc有两个极值点1x，2x，若112()=fxxx，则关于x的方程23(())+2a()+=0fxfxb的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为2'()32fxxaxb=++，函数的两个极值点为12,xx，所以12()0,()0fxfx，所以12,xx是方程2320xaxb++=的两根，所以解方程23(())2()0fxafxb++=得12()()fxxfxx或，由上述可知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1x2,如图,数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数32()=+a+bx+fxxxc有极值点1x，2x，且11()=fxx，圆学子梦想铸金字品牌-4-则关于x的方程23(())+2a()+=0fxfxb的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为2'()32fxxaxb=++，函数的两个极值点为12,xx，所以12()0,()0fxfx，所以12,xx是方程2320xaxb++=的两根，所以解方程23(())2()0fxafxb++=得12()()fxxfxx或，不妨设12.xx由题意知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1x2,如图,数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a为常数，函数()lnfxxxax有两个极值点1212,()xxxx，则（）A.121()0,()2fxfxB.121()0,()2fxfxC.121()0,()2fxfxD.121()0,()2fxfx【解析】选D.1f'(x)lnxaxx(a)lnx12ax(x0)x，令0)('xf，由题意可得12lnaxx有两个实数解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0,g'(x)=1x-2a=12ax,x.①当a≤0时,g(x)0,f(x)单调递增,圆学子梦想铸金字品牌-5-因此g(x)=f(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.②当a0时,令g(x)=0,解得x=1,2a因为1(0,),g(x)02ax，,函数g(x)单调递增;1(,)2ax时，g(x)0，函数g(x)单调递减.所以x=12a是函数g(x)的极大值点,则g12a0,即ln12a+1-1=-ln(2a)0,所以ln(2a)0,所以02a1,即0a12因为0x112ax2,所以f'(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f'(x2)=lnx2+1-2ax2=0.则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)111a10,2a2a2af(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1)1×111a11.2a22a7.（2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数22,()ln)3(xxgxxxxfe.若实数a,b满足()0,()0fagb,则（）A.()0()gafbB.()0()fbgaC.0()()gafbD.()()0fbga【解题指南】先由()0,()0fagb确定a,b的大小，再结合22,()ln)3(xxgxxxxfe的单调性进行判断.【解析】选A.因为0,(1)xfxe所以()2xfxex在其定义域内是单调递增的，圆学子梦想铸金字品牌-6-由()0fa知01,a又因为0x，1()20gxxx，故2()ln3gxxx在(0,)上也是单调递增的，由()0gb知12b，所以()()0gagb，0()()fafb，因此()0()gafb。8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解题指南】当k=1,2时,分别验证f'(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)0,在x=1附近右侧,f'(x)0,所以x=1是f(x)的极小值点.9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选B.因为f'(x)0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x∈(-1,0)时,f'(x)圆学子梦想铸金字品牌-7-为增函数,x∈(0,1)时,f'(x)为减函数,所以选B.10.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）已知曲线421-128=yxaxaa在点，处切线的斜率为，（）A.9B.6C.-9D.-6【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出a的值.【解析】选D.由题意可知，点)2,1(a在曲线上，因为axxy243，则8)1(2)1(43a，解得6a二、填空题11.（2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对y=ax2-lnx求导得12yaxx,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为1210xya,解得12a.【答案】12.12.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数))(1()(22baxxxxf的图像关于直线2x对称，则)(xf的最大值为_______.【解题指南】首先利用数)(xf的图像关于直线2x对称求出ba,的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数)(xf的图像关于直线2x对称，所以)4()0(ff，得ab15604，又axbaxxxf)1(234)(23，而0)2(f，0)2()1(2)2(3)2(423aba.圆学子梦想铸金字品牌-8-得28411ba即2841115604baab，解得8a，15b.故)158)(1()(22xxxxf，则828244)(23xxxxf)276(423xxx)14)(2(42xxx令0)(xf，即0)14)(2(2xxx，则2x或52x或52.当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：)52(f]15)52(8)52][()52(1[2216)548)(854()52(f]15)52(8)52][()52(1[2216)548)(854(故)(xf的最大值为16.【答案】16三、解答题13.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数32=331.fxxaxx（I）求2;afx时，讨论的单调性；（II）若2,0,.xfxa时，求的取值范围【解析】（I）当a2时，1323)(23xxxxf，3263)(2xxxf.令0)(x