2018年高考数学(理科)真题

1/52018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设121izii，则z（）A．0B．12C．1D．22．已知集合2|20Axxx，则ARð（）A．|12xxB．|12xx≤≤C．|1|2xxxxD．|1|2xxxx≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2/54．记nS为等差数列na的前n项和．若3243SSS，12a，则a5=（）A．12B．10C．10D．125．设函数321fxxaxax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点00，处的切线方程为（）A．2yxB．yxC．2yxD．yx6．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）A．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．217B．25C．3D．28．设抛物线24Cyx：的焦点为F，过点20，且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN（）A．5B．6C．7D．89．已知函数0ln0xexfxxx，≤，，gxfxxa，若gx存在2个零点，则a的取值范围是（）A．10，B．0，C．1，D．1，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p，2p，3p，则（）A．12ppB．13ppC．23ppD．123ppp11．已知双曲线2213xCy：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若OMN△为直角三角形，则MN（）3/5A．32B．3C．23D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．334B．233C．324D．32二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若xy，满足约束条件220100xyxyy≤≥≤，则32zxy的最大值为________．14．记nS为数列na的前n项和．若21nnSa，则6S________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是________．三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题：共60分。17．（12分）在平面四边形ABCD中，90ADC∠，45A∠，2AB，5BD．⑴求cosADB∠；⑵若22DC，求BC．18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF⊥．⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD；⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．4/519．（12分）设椭圆2212xCy：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为20，．⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；⑵设O为坐标原点，证明：OMAOMB∠∠．20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为01pp，且各件产品是否为不合格品相互独立．⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点0p；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．（12分）已知函数1lnfxxaxx．⑴讨论fx的单调性；⑵若fx存在两个极值点1x，2x，证明：12122fxfxaxx．5/5（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2ykx．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30．⑴求2C的直角坐标方程；⑵若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11fxxax．⑴当1a时，求不等式1fx的解集；⑵若01x∈，时不等式fxx成立，求a的取值范围．