等比数列前n项和高考解答题试题精选

第1页（共31页）等比数列前n项和高考解答题试题精选一．解答题（共30小题）1．（2017•北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．2．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．3．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．4．（2017•山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．第2页（共31页）（1）求数列{an}通项公式；（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．5．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．6．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．第3页（共31页）7．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．8．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．9．（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．第4页（共31页）10．（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．11．（2016•新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和．12．（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式an；（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．第5页（共31页）13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．14．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．15．（2016•北京）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．第6页（共31页）16．（2016•天津）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．17．（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．18．（2015•山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．19．（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的第7页（共31页）公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．21．（2015•新课标Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．22．（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）第8页（共31页）（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．23．（2015•山东）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．24．（2015•天津）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{an}的通项公式；（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．25．（2015•福建）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．第9页（共31页）26．（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？27．（2015•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．28．（2014•福建）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．第10页（共31页）29．（2014•新课标Ⅰ）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．30．（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．等比数列前n项和高考解答题试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，第11页（共31页）所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．2．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；（2）由（1）可知：Sn===﹣（2+（﹣2）n+1），则Sn+1=﹣（2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由Sn+1+Sn+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2Sn，即Sn+1+Sn+2=2Sn，∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．第12页（共31页）3．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）an=2．∴an=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴an=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．4．（2017•山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{an}通项公式；（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．【解答】解：（1）记正项等比数列{an}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以an=2n；（2）因为{bn}为各项非零的等差数列，所以S2n+1=（2n+1）bn+1，又因为S2n+1=bnbn+1，所以bn=2n+1，=，所以Tn=3•+5•+…+（2n+1）•，第13页（共31页）Tn=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：Tn=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即Tn=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即Tn=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．5．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．6．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；第14页（共31页）（Ⅱ）求数列{