数值分析(清华大学出版社)

第一章3.已知e=2.7182818..，求以下近似值Ax的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？（1）,2.7Axex；（2）,2.718Axex；（3）,0.027100Aexx；（4）,0.02718100Aexx。解：（1）12.7182818..,2.70.2710Axex10.01828...0.050.510Axx2.7Ax有2位有效数字36.810AAxxx（2）2.718Ax30.00028...0.00050.510Axx2.718Ax有4位有效数字41.0410AAxxx（3）10.027182818...,0.0270.2710100Aexx30.0001828...0.00050.510Axx0.027Ax有2位有效数字36.810AAxxx（4）0.02718Ax50.0000028...0.0000050.510Axx2.718Ax有4位有效数字41.0410AAxxx4.正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm?[解]由)(2)(])[())((22AAAAAAlllllAA可知，若要求1))((2AAl，则2001100212))(()(2AlllAAAA，即边长应满足2001100l。5(1)①1-cos2°=1-0.9994=0.0006只有一位有效数字②1-cos2°=2sin²1°=2×0.0175²≈0.6125×31044100917298.610125.6=0.3327具有几位有效数字则称若位有效数字具有＜xxaaaxAnkAxAn-kn321323551010a5.0.02106125.0105.0105.010③位有效数字有＜41060919.0105.0105.0100005.0100001702.0100917298.6100919.61060919.0100919.69994.010349.02cos12sin2cos1343744444422(2)位有效数字有＜！π！π4092.6105.0105.0100005.0100002702.0100917298.610092.610092.64902902cos143744444426.求解方程25610xx，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用73827.982。解：利用求根公式242bbaca求得两个根为28783x，由78328x与982.27783（五位有效数字）可知12878355.982x（五位有效数字）018.0982.2728783282x，只有两位有效数字，不符合题意。由于两个相近数相减误差很大，所以利用韦达定理可知21110.017863caxxx7.设)1()(xxxxf，xxxxg1)(，用四舍五入的六位数字运算分别计算)500(f和)500(g的近似值，并分析哪个结果计算比较准确，原因何在？解：用四舍五入法保存6位有效数字可得22.360750022.38305011500.113607.223830.22500)5001500(500)500(f；1748.113607.223830.225005001500500)500(g而1747553.11)500()500(gf因此)500(g比较准确，原因是相近数相减有效数字会有所损失，故)500(g更加准确。8.下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字的损失？(1)1,1112NdxxNN(2)1,11xxxxx(3)1,ln)1ln(xxx(4)4,sincos22xxx解：（1）因为NNdxxNNarctan)1arctan(1112，当N充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(N，Narctan，则tan1N，tanN，从而11)1(1)1(tantan1tantan)tan(2NNNNNN，因此11arctan11212NNdxxNN。(2)当x充分大时为两个相近数相减，利用分子有理化得xxxxxxxxx11211(3)当x充分大时为两个相近数相减，利用对数的性质得xxx11lnln)1ln((4)当4x时为两个相近数相减，利用三角公式性质得xxx2cossincos2210、已知,x.试求中函数的范围和.11.求下列向量的范数,,1xx和2x.(1);4,3,1,2Tx(2).,2,cos,sinNkkkxk解：（1）,10,41xx302x（2）kkkkxx2cossin,21，kx41213.求下列矩阵A的范围1A,2A,A以及()A.（1）1234A（2）210121012A解：（1）111maxnijniAx=6122()TAAA=5.461maxxAAx=7()A=max()TAA=5.3723（2）111maxnijniAx=4122()22TAAA=3.41421maxxAAx=4()A=max()22TAA=3.414219.确定a的取值范围使，4111212aaA为对称正定矩阵解：由题可知A矩阵为对称矩阵，而A成为对称正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式3,2,1,0ii故02122042222aaaa则23201224411121223aaaaa则故联立可以得到23,2a21、2101201baA分别求出所有的a、b值，使得：（1）A奇异；（2）A严格对角占优；（3）A对称正定；解：（1）因为Ａ奇异，所以矩阵Ａ的行列式的值等于零。求得ａ、ｂ值应满足３ａ＝２ｂ。（2）根据严格对角占优矩阵的定义可列出不等式121ba解得1,1ba(3)因为矩阵Ａ对称，所以ｂ＝１。因为A对称正定，所以A的所有顺序主子式值全部大于零。一阶顺序主子式大于零得：a＞0二阶顺序主子式大于零得：2a＞1三阶顺序主子式大于零得：3a＞2解得a＞2/3。所以满足A对称正定的条件是b=1，a＞2/3。