洛伦兹变换的详细推导

第三节洛伦兹变换式教教学学内内容容：：11..洛洛伦伦兹兹变变换换式式的的推推导导；；22..狭狭义义相相对对论论的的时时空空观观：：同同时时性性的的相相对对性性、、长长度度的的收收缩缩和和时时间间的的延延缓缓；；重重点点难难点点：：狭狭义义相相对对论论时时空空观观的的主主要要结结论论。。基基本本要要求求：：11..了了解解洛洛伦伦兹兹坐坐标标变变换换和和速速度度变变换换的的推推导导；；22..了了解解狭狭义义相相对对论论中中同同时时性性的的相相对对性性以以及及长长度度收收缩缩和和时时间间延延缓缓概概念念；；33..理理解解牛牛顿顿力力学学中中的的时时空空观观和和狭狭义义相相对对论论中中的的时时空空观观以以及及两两者者的的差差异异。。三、洛伦兹坐标变换的推导22211cvcvxttzzyycvvtxx或或22211cvcxvttzzyycvtvxx据据狭狭义义相相对对论论的的两两个个基基本本假假设设来来推推导导洛洛仑仑兹兹变变换换式式。。11..时时空空坐坐标标间间的的变变换换关关系系作作为为一一条条公公设设，，我我们们认认为为时时间间和和空空间间都都是是均均匀匀的的，，因因此此时时空空坐坐标标间间的的变变换换必必须须是是线线性性的的。。对对于于任任意意事事件件PP在在SS系系和和SS''系系中中的的时时空空坐坐标标((xx，，yy，，zz，，tt))、、((xx''，，yy''，，zz''，，tt''))，，因因SS''相相对对于于SS以以平平行行于于xx轴轴的的速速度度vv作作匀匀速速运运动动，，显显然然有有yy''==yy,,zz''==zz。。在在SS系系中中观观察察SS系系的的原原点点，，xx==00；；在在SS''系系中中观观察察该该点点，，xx''==--vvtt''，，即即xx''++vvtt''==00。。因因此此xx==xx''++vvtt''。。在在任任意意的的一一个个空空间间点点上上，，可可以以设设：：xx==kk（（xx''++vvtt''）），，kk是是——比比例例常常数数。。同同样样地地可可得得到到：：xx''==kk''（（xx--vvtt））==kk''（（xx++((--vv))tt））根根据据相相对对性性原原理理，，惯惯性性系系SS系系和和SS''系系等等价价，，上上面面两两个个等等式式的的形形式式就就应应该该相相同同（（除除正正、、负负号号）），，所所以以kk==kk''。。22..由由光光速速不不变变原原理理可可求求出出常常数数kk设设光光信信号号在在SS系系和和SS''系系的的原原点点重重合合的的瞬瞬时时从从重重合合点点沿沿xx轴轴前前进进，，那那么么在在任任一一瞬瞬时时tt（（或或tt''）），，光光信信号号到到达达点点在在SS系系和和SS''系系中中的的坐坐标标分分别别是是：：xx==cctt,,xx''==cctt''，，则则：：ttcxx2tvtcvtctktvxvtxk22222vcttk由由此此得得到到22211cvvcck。。这这样样，，就就得得到到21cvvtxx，，21cvtvxx。。由由上上面面二二式式，，消消去去xx''得得到到221cvcvxtt；；若若消消去去xx得得到到221cvcxvtt，，综综合合以以上上结结果果，，就就得得到到洛洛仑仑兹兹变变换换，，或或洛洛仑仑兹兹反反变变换换22211cvcvxttzzyycvvtxx22211cvcxvttzzyycvvtxx可可见见洛洛仑仑兹兹变变换换是是两两条条基基本本原原理理的的直直接接结结果果。。33..讨讨论论（（11））可可以以证证明明，，在在洛洛仑仑兹兹变变换换下下，，麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组是是不不变变的的，，而而牛牛顿顿力力学学定定律律则则要要改改变变。。故故麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组能能够够用用来来描描述述高高速速运运动动的的电电磁磁现现象象，，而而牛牛顿顿力力学学不不适适用用描描述述高高速速现现象象，，故故它它有有一一定定的的适适用用范范围围。。（（22））当当||vv//cc||11时时，，洛洛仑仑兹兹变变换换就就成成为为伽伽利利略略变变换换，，亦亦即即后后者者是是前前者者在在低低速速下下的的极极限限情情形形。。故故牛牛顿顿力力学学仅仅是是相相对对论论力力学学的的特特殊殊情情形形——低低速速极极限限。。四、相对论速度变换公式洛洛仑仑兹兹变变换换是是事事件件的的时时空空坐坐标标在在不不同同惯惯性性系系之之间间的的关关系系，，根根据据洛洛仑仑兹兹变变换换可可以以得得到到狭狭义义相相对对论论的的速速度度变变换换公公式式。。设设物物体体在在SS、、SS''系系中中的的的的速速度度分分别别为为zyxuuu,,，，zyxuuu,,，，根根据据洛洛仑仑兹兹变变换换式式可可得得：：222111cvdtvucvdtvdtdxcvvdtdxxdx2222111cvcvudtcvcvdxdttdx因因此此：：222111cvcvudtcvdtvutdxdxx，，即即：：21cvuvuuxxx因因yy''==yy,,zz''==zz，，有有ddyy''==ddyy,,ddzz''==ddzz则则2211cvcvudtdytdydx，，即即2211cvucvuuxyy。。同同理理：：2211cvucvuuxzz因因此此得得相相对对论论的的速速度度变变换换公公式式：：21cvuvuuxxx、、2211cvucvuuxyy、、2211cvucvuuxzz其其逆逆变变换换为为：：21cuvvuuxxx、、2211cuvcvuuxyy、、2211cuvcvuuxzz。。讨讨论论（（11））当当速速度度uu、、vv远远小小于于光光速速cc时时，，即即在在非非相相对对论论极极限限下下，，相相对对论论的的速速度度变变换换公公式式即即转转化化为为伽伽利利略略速速度度变变换换式式vuuxx。。（（22））利利用用速速度度变变换换公公式式，，可可证证明明光光速速在在任任何何惯惯性性系系中中都都是是cc。。证证明明：：设设SS''系系中中观观察察者者测测得得沿沿xx''方方向向传传播播的的一一光光信信号号的的光光速速为为cc，，在在SS系系中中的的观观察察者者测测得得该该光光信信号号的的速速度度为为：：ccvcvcux21，，即即光光信信号号在在SS系系和和SS''系系中中都都相相同同。。第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1.概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P。当灯发出闪光时：S系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B两端；SS系系（（地地面面上上））的的观观察察者者认认为为，，AA与与光光相相向向运运动动（（vv、、cc反反向向）），，BB与与光光同同向向运运动动，，所所以以光光先先到到达达AA再再到到达达BB，，不不同同时时到到达达。。结结论论：：同同时时性性与与参参考考系系有有关关——这这就就是是同同时时的的相相对对性性。。假假设设两两个个事事件件PP11和和PP22，，在在SS系系和和S系系中中测测得得其其时时空空坐坐标标为为：：2222111122221111tzyxtzyxStzyxtzyxS，，，，，，，：，，，，，，，：由由洛洛伦伦兹兹变变换换得得：：222222211111cvcxvttcvcvxtt，在在SS系系和和S系系中中测测得得的的时时间间间间隔隔为为12tt和和（（tt22--tt11）），，它它们们之之间间的的关关系系为为：：221212121cvcxxvtttt可可见见，，两两个个彼彼此此间间作作匀匀速速运运动动的的惯惯性性系系中中测测得得的的时时间间间间隔隔，，一一般般来来说说是是不不相相等等的的。。2.讨论（（11））在在SS系系中中同同时时发发生生：：tt22==tt11，，但但在在不不同同地地点点发发生生，，12xx，，则则有有：：2221121cvcxxvtt这这就就是是同同时时的的相相对对性性。。（（22））在在SS系系中中同同时时发发生生：：tt22==tt11，，而而且且在在相相同同地地点点发发生生，，12xx，，则则有有：：1222121212101ttcvcvxxttttt，12212121201xxcvttvxxxx，即即在在SS系系中中同同时时同同地地点点发发生生的的两两个个事事件件，，在在SS’’系系中中也也同同时时同同地地点点发发生生。。（（33））事事件件的的因因果果关关系系不不会会颠颠倒倒，，如如人人出出生生的的先先后后假假设设在在SS系系中中，，tt时时刻刻在在xx处处的的质质点点经经过过t时时间间后后到到达达xx处处，，则则由由：：221cvcvxtt得得到到txucvcvutcvcvxtt1112222因因为为vv≯≯cc，，uu≯≯cc，，所所以以ΔΔt与与ΔΔtt同同号号。。即即事事件件的的因因果果关关系系，，相相互互顺顺序序不不会会颠颠倒倒。。（（44））上上述述情情况况是是相相对对的的。。同同理理在在SS’’系系中中不不同同地地点点同同时时发发生生的的两两个个事事件件，，在在SS系系看看来来同同样样也也是是不不同同时时的的。。（（55））当当cv时时，，tt，，回回到到牛牛顿顿力力学学。。二、长度收缩（洛伦兹收缩）假假设设一一刚刚性性棒棒AABB静静止止于于SS’’系系中中12xxl，，在在SS系系中中同同时时ttt21测测量量得得12xxl。。由由洛洛伦伦兹兹坐坐标标变变换换式式：：2222211111cvvtxxcvvtxx，得得：：212212121211cvxxcvttvxxxx即即21cvll1.固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l0表示。即201cvll2.洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的21cv倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。讨论：（（11））长长度度缩缩短短效效应应具具有有相相对对性性。。若若在在SS系系中中有有一一静静止止物物体体，，那那么么在在S系系中中观观察察者者将将同同时时测测量量得得该该物物体体的的长长度度沿沿运运动动方方向向缩缩短短，，同同理理有有21cvll即即看看人人家家运运动动着着的的尺尺子子变变短短了了。。（（22））当当vvcc时时，，有有ll三、时间膨胀（时间延缓）由由洛洛伦伦兹兹变变换换得得221212121cvcxxvtttt，，事事件件PP11、、PP22在在SS系系中中的的时