一阶常系数线性微分方程组

几种特殊类型的一阶微分方程Ricatti方程形如ⅆ𝑦ⅆ𝑥=𝑝𝑥+𝑞𝑥𝑦+𝑟𝑥𝑦2的方程称为Ricatti方程，其特点是方程右端是关于y的二次函数。Liouville在1841年证明了除特殊情况外，其通解不可能用初等函数和初等函数的积分来表示。但如果已知Ricatti方程的一个特解𝑦=𝑦1𝑥，令𝑧=𝑦−𝑦1𝑥则方程可化为ⅆ𝑧ⅆ𝑥=q𝑥+2𝑟𝑥𝑦1𝑥𝑧+𝑟𝑥𝑧2这是一个Bernoulli方程，对其求解后，就可得到Ricatti方程的解。解方程ⅆ𝑦ⅆ𝑥=𝑦2−2𝑥2我们可知𝑦=1𝑥是一特解。令𝑧=𝑦−1𝑥，则原方程化为ⅆ𝑧ⅆ𝑥=2𝑥𝑧+𝑧2这是一个Bernoulli方程，𝑧=0是一特解。两边同除𝑧2,可得−ⅆ𝑧−1ⅆ𝑥=2𝑥𝑧−1+1这是一个关于𝑧−1的线性方程，通解为𝑧−1=𝑐−𝑥33𝑥2，再带回变量y，得到原方程的解为𝑦=3𝑥2𝐶−𝑥3+1𝑥和𝑦=1𝑥Ricatti方程定理：设Ricatti方程形如ⅆ𝑦ⅆ𝑥+𝑎𝑦2=𝑏𝑥𝑚（1），其中𝑎,𝑏,𝑚都是常数，且𝑎≠0.设𝑥≠0且𝑦≠0.当𝑚=0，−2，−4𝑘2𝑘+1，−4𝑘2𝑘−1（𝑘=1,2,…）时，方程可通过适当变化为可分离变量型微分方程。证明：不妨假设a=1.当𝑚=0时，（1）化为ⅆ𝑦ⅆ𝑥=𝑏−𝑦2，是可分离变量型微分方程；当𝑚=−2时，令𝑧=𝑥𝑦,有ⅆ𝑧ⅆ𝑥=𝑦+𝑥ⅆ𝑦ⅆ𝑥=𝑦+𝑥𝑏𝑥−2−𝑦2=𝑧𝑥+𝑏𝑥−𝑧2𝑥即ⅆ𝑧ⅆ𝑥=1𝑥𝑏+𝑧−𝑧2当𝑚=−4𝑘2𝑘+1时，做变换𝑥=1𝜉𝑚+1，𝑦=𝑏𝑚+1𝜂−1带入原方程，得ⅆ𝜂ⅆ𝜉+𝜂2=1𝑚+12𝜉𝑛，其中n=−4𝑘2𝑘−1.再做变换ξ=1𝑡，𝜂=𝑡−𝑧𝑡2，其中𝑡和𝑧分别是新的自变量和未知函数，可得ⅆ𝑧ⅆ𝑡+𝑧2=1𝑚+12𝑡𝑙,其中𝑙=−4𝑘−12𝑘−1+1.显然𝑚与𝑙相比，𝑘变为𝑘−1，重复上述步骤，最后可化为𝑚=0的情形。m=−4𝑘2𝑘−1时，可类似证明。Euler方程形如𝑎𝑛𝑥𝑛𝑦(𝑛)+𝑎𝑛−1𝑥(𝑛−1)𝑦𝑛+⋯+𝑎1𝑥𝑦′+𝑎0𝑦=𝑓𝑥（2）的方程称为Euler方程，其中𝑎𝑛，𝑎𝑛−1,…,𝑎1,𝑎0是实常数，且𝑎𝑛≠0.由于当𝑥=0时，各阶导数项的系数都是零，故可以假设𝑥≠0.只考虑𝑥0，当𝑥0时，可先作变量替换𝑥=−𝑡再类似求解。作变量替换𝜏=ln𝑥，则𝑥=ⅇ𝜏，且ⅆ𝑦ⅆ𝑥=ⅆ𝑦ⅆ𝜏ⅆ𝜏ⅆ𝑥=1𝑥ⅆ𝑦ⅆ𝜏ⅆ2𝑦ⅆ𝑥2=1𝑥2ⅆ2𝑦ⅆ𝜏2−ⅆ𝑦ⅆ𝜏，ⅆ3𝑦ⅆ𝑥3=1𝑥3ⅆ3𝑦ⅆ𝜏3−3ⅆ2𝑦ⅆ𝑧2+2ⅆ𝑦ⅆ𝑧一般地，如果ⅆ𝑘𝑦ⅆ𝑥𝑘=1𝑥𝑘(ⅆ𝑘𝑦ⅆ𝜏𝑘+𝑏𝑘−1ⅆ𝑘−1𝑦ⅆ𝜏𝑘−1+⋯+𝑏1ⅆ𝑦ⅆ𝜏)则ⅆ𝑘+1𝑦ⅆ𝑥𝑘+1=1𝑥𝑘+1[ⅆ𝑘+1𝑦ⅆ𝜏𝑘+1+𝑏𝑘−1−𝑏kⅆ𝑘𝑦ⅆ𝜏𝑘+⋯+𝑏1−𝑘𝑏2ⅆ2𝑦ⅆ𝜏2−𝑘𝑏1ⅆ𝑦ⅆ𝜏]因此，将ⅆ𝑦ⅆ𝑥,ⅆ2𝑦ⅆ𝑥2,ⅆ3𝑦ⅆ𝑥3,…,ⅆ𝑘𝑦ⅆ𝑥𝑘带入（2）式，Euler方程可化为常系数线性方程。解方程𝑥3𝑦′′′+5𝑥2𝑦′′+7𝑥𝑦′+8𝑦=0，𝑥0令𝜏=ln𝑥，方程化为ⅆ3𝑦ⅆ𝜏3+2ⅆ2𝑦ⅆ𝜏2+4ⅆ𝑦ⅆ𝜏+8y=0.对应的齐次方程的特征方程为𝜆3+2𝜆2+4𝜆+8=0，特征根为𝜆1=−2，𝜆2,3=±2𝑖,原方程的通解为𝑦=𝐶1ⅇ−2𝜏+𝐶2cos2𝜋+𝐶3sin2𝜋=𝐶11𝑥2+𝐶2cos2ln𝑥+𝐶3sin2ln𝑥