中考数学动态几何题中的定值型问题赏析

中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略一、长度定值例1．（2010山东聊城）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．125B．65C．245D．不确定解析：因为四边形ABCD是矩形，由勾股定理得AC=BD=5.过点P分别作AC、BD的垂线PE、PF，容易得△PDF∽△BDA，∴PDPFBDAB，即53PDPF，∴35PFPD，同理35PEPA，∴PE+PF＝312()55PAPD．故答案为A。点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P与A重合、P与B重合或P为AD的中点等特殊情形下，求出PE＋PF的值探求答案．二、角度定值例2．（2010年广东广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）略分析：（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝12，借助勾股定理可求得AF的长，根据垂径定理求得AB；（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半，只需看∠AOB值即可。解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝12OP＝12，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝22OAOF＝2211()2＝32，∴AB＝2AF＝3．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝12∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）略点评：本题是圆为载体的角度定值问题，考查了三角形内切圆、角平分线的性质、三角形内角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算得到定值。三、周长定值例3．（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）（2）略（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．解：（1）（2）略（3）BMN的周长不发生变化．延长BA至点F，使AFOM，连结CF．（如图③）FNMABCOxy图③∵90,MOCFACOCAC，∴MOC≌FAC．∴MCCF，MCOFCA．∴FCNFCANCAMCONCA60OCAMCN．∴FCNMCN．又∵,MCCFCNCN．∴MCN≌FCN．∴MNNF．∴BMMNBNBMNFBNAFBAOMBOBABO4．∴BMN的周长不变，其周长为4．点评：本题是定角（60°）在等边三角形内旋转的动态几何问题，探究运用过程中的BMN的周长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差，直接计算证明了周长为定值。解题时，也可让∠MCN运动到MN平行于OA或M与O重合或N与A重合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。三、面积定值例3．（2010广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）略（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解：（1）略（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，CDBAEOxy因为直线DE的解析式y＝－12x＋b中，比例系数k＝12，所以tan∠DEN＝12，因为DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1aa，∴54a∴S四边形DNEM＝NE·DH＝54∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．点评：本题是点动、线动相结合的平面直角坐标系中的动态几何题，通过运动时所形成的不同位置，考查了矩形、一次函数、直角三角形勾股定理、方程、面积、轴对称变换、锐角三角函数等知识点和数形结合的数学思想。第（2）小题是以面积为载体的动态探究题，从面积的角度探求动态过程中的不变量，解题的关键是找出动态过程中的不变量，通过直接计算求得定值。五、比值定值例5．（2010湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，90DAB，24ADDC，6AB．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）、（2）略（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究CQRQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．分析：（3）当t＞2时，确定动点P、Q、M在图形上的位置，点P在AD上，点Q在BC上，画出图形，观察、分析线段CQ、RQ与已知线段有没有关系，是否存在相似三角形．解：（1）（2）略（3）CQRQ为定值．当t＞2时，如备用图2，作CF⊥AB4(2)6PADADPtt．∵4BFABAF．CF＝AD＝4∴CFBF．∴45CBF．ABCD（备用图1）ABCD（备用图2）QABCDlMP（第24题）EABCD（备用图2）MQRFP∴6QMMBt．∴QMPA．∴四边形AMQP为矩形．∴PQ∥AB．∴△CRQ∽△CAB．∴22422263CQBCCFBFRQABAB．点评：本题是一道以直角梯形为框架的动态几何问题，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用辅助线方法等知识点，体现了分类讨论的思想。第（3）问是关于线段比的定值探究题，解题时，需要画出当t＞2时的图形，把“动态”问题转化为“静态”问题，根据相似三角形对应线段成比例，将CQRQ转化为其他线段的比，探明线段比是否为定值．六、积定值例6.（2010广东深圳）如图1，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－33x－533与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）略（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）如图4，OE=5，2r，CH=2（2）略（3）如图6，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则90GTA249034，2390由于390BKO，故，2BKO；而1BKO，故12在AMK和NMA中，12；AMKNMA故AMKNMA；所以MNAMAMMK;即：24MNMKAM故存在常数a，始终满足MN·MK＝a，常数4a点评：本题是平面直角坐标系中以圆为框架的动态几何探究题，考查了一次函数、圆的基本4321xyNTDABHCEMOKGF图61xyDABHCEMOF图4性质、切线的性质、相似三角形、锐角三角函数等知识点及数形结合、函数与方程等数学思想，第（2）小题是线段积的定值探究题，根据相似三角形对应线段成比例，得到线段积的关系，因此，解题时，构造以MN、MK为边的相似三角形，直接计算求得定值，灵活性较强，综合性较高，对学生来说难度较大。