2016湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

考单招——上高职单招网一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．．1．若复数i2ia的实部与虚部相等，则实数a（）A（A）1（B）1（C）2（D）22.已知2()(1),(1)1()2fxfxffx*xN（），猜想(fx）的表达式为（）.A.4()22xfxB.2()1fxxC.1()1fxxD.2()21fxx3．等比数列{}na中，10a，则“13aa”是“36aa”的B（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有B（A）60种（B）72种（C）84种（D）96种5.已知定义在R上的函数()fx的对称轴为3x，且当3x时，()23xfx.若函数()fx在区间(1,)kk（kZ）上有零点，则k的值为A（A）2或7（B）2或8（C）1或7（D）1或86．已知函数22()log2log()fxxxc，其中0c．若对于任意的(0,)x，都有()1fx，则c的取值范围是D考单招——上高职单招网（A）1(0,]4（B）1[,)4（C）1(0,]8（D）1[,)87.已知函数)0(2)(23abxaxxf有且仅有两个不同的零点1x，2x，则BA．当0a时，021xx，021xxB.当0a时，021xx，021xxC.当0a时，021xx，021xxD.当0a时，021xx，021xx8．如图，正方体1111ABCDABCD中，P为底面ABCD上的动点，1PEAC于E，且PAPE，则点P的轨迹是A（A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．设等差数列{}na的公差不为0，其前n项和是nS．若23SS，0kS，则k______．510.262()xx的展开式中3x的系数是．16011．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.0ayx,0xay2aa考单招——上高职单招网．在直角坐标系xOy中，点B与点(1,0)A关于原点O对称．点00(,)Pxy在抛物线24yx上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则0x______．1213.数列的通项公式，前项和为，则___________。301814．记实数12,,,nxxx中的最大数为12max{,,,}nxxx，最小数为12min{,,,}nxxx.设△ABC的三边边长分别为,,abc，且abc，定义△ABC的倾斜度为max{,,}min{,abcatbcab,}bcca．（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t______；1（ⅱ）设1a，则t的取值范围是______．15[1,)2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．}{na12cosnnannnS2012S考单招——上高职单招网（本小题共14分）已知函数()ln(1)fxmxmx()mR．（Ⅰ）当2m时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）讨论()fx的单调性；（III）若()fx存在最大值M，且0M，求m的取值范围．（18）（共14分）解：（Ⅰ）当2m时，()2lnfxxx．22()1xfxxx．所以(1)3f．又(1)1f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是13(1)yx，即320xy．（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)，(1)()1mmxmfxmxx．当0m≤时，由0x知()10mfxmx恒成立，此时()fx在区间(0,)上单调递减．当m≥1时，由0x知()10mfxmx恒成立，此时()fx在区间(0,)上单调递增．当01m时，由()0fx，得1mxm，由()0fx，得1mxm，考单招——上高职单招网此时()fx在区间(0,)1mm内单调递增，在区间(,)1mm内单调递减．（III）由（Ⅱ）知函数()fx的定义域为(0,)，当0m≤或m≥1时，()fx在区间(0,)上单调，此时函数()fx无最大值．当01m时，()fx在区间(0,)1mm内单调递增，在区间(,)1mm内单调递减，所以当01m时函数()fx有最大值．最大值()ln11mmMfmmmm．因为0M，所以有ln01mmmm，解之得e1em．所以m的取值范围是e(,1)1e．16．（本小题满分13分）已知函数()sincosfxxax的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设()()()23sincosgxfxfxxx，求()gx的单调递增区间．（Ⅰ）解：依题意，得π()04f，………………1分即ππ22sincos04422aa，………………3分解得1a．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sincosfxxx．………………6分考单招——上高职单招网()()()23sincosgxfxfxxx(sincos)(sincos)3sin2xxxxx………………7分22(cossin)3sin2xxx………………8分cos23sin2xx………………9分π2sin(2)6x．………………10分由πππ2π22π262kxk，得ππππ36kxk，kZ．………………12分所以()gx的单调递增区间为ππ[π,π]36kk，kZ．………………13分117.（本小题满分13分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+nb1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得311452)110(10101111dbdbb,∴bn=3n－2考单招——上高职单招网(2)证明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+…+loga(1+231n)=loga［(1+1)(1+41)…(1+231n)］而31logabn+1=loga313n,于是，比较Sn与31logabn+1的大小比较(1+1)(1+41)…(1+231n)与313n的大小.取n=1，有(1+1)=33311348取n=2，有(1+1)(1+33312378)41推测：(1+1)(1+41)…(1+231n)＞313n(*)①当n=1时，已验证(*)式成立.②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231k)＞313k则当n=k+1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3kkkk3131323kkk333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk31)1(3)1311)(2311()411)(11(kkk从而,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞31logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜31logabn+118．（本小题满分13分）已知函数()lnfxaxx，()e3axgxx，其中aR．（Ⅰ）求)(xf的极值；（Ⅱ）若存在区间M，使)(xf和()gx在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．18.（本小题满分13分）考单招——上高职单招网（Ⅰ）解：()fx的定义域为(0,)，………………1分且11()axfxaxx．………………2分①当0a时，()0fx，故()fx在(0,)上单调递减．从而)(xf没有极大值，也没有极小值．………………3分②当0a时，令()0fx，得1xa．()fx和()fx的情况如下：x1(0,)a1a1(,)a()fx0()fx↘↗故()fx的单调减区间为1(0,)a；单调增区间为1(,)a．从而)(xf的极小值为1()1lnfaa；没有极大值．………………5分（Ⅱ）解：()gx的定义域为R，且()e3axgxa．………………6分③当0a时，显然()0gx，从而()gx在R上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()fx在1(,)a上单调递增，符合题意．………………8分④当0a时，()gx在R上单调递增，()fx在(0,)上单调递减，不合题意．……9分⑤当0a时，令()0gx，得013ln()xaa．考单招——上高职单招网()gx和()gx的情况如下表：x0(,)x0x0(,)x()gx0()gx↘↗当30a时，00x，此时()gx在0(,)x上单调递增，由于()fx在(0,)上单调递减，不合题意．………………11分当3a时，00x，此时()gx在0(,)x上单调递减，由于()fx在(0,)上单调递减，符合题意．综上，a的取值范围是(,3)(0,)．………………13分19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,DE两点．记△GFD的面积为1S，△OED（O为原点）的面积为2S，求12SS的取值范围．19．（本小题满分14分）考单招——上高职单招网（Ⅰ）解：依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,)b时，其倾斜角为60．………………1分设(,0)Fc，则tan603bc．………………2分将3bc代入222abc，解得2ac．………………3分所以椭圆的离心率为12cea．………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143xycc．………………5分设11(,)Axy，22(,)Bxy．依题意，直线AB不能与,xy轴垂直，故设直线AB的方程为()ykxc，将其代入2223412xyc，整理得222222(43)84120kxckxkcc．………………7分则2122843ckxxk，121226(2)43ckyykxxck，22243(,)4343ckckGkk．………………8分考单招——上高职单招网，所以2223431443Dckkkckxk，2243Dckxk．………………9分因为△GFD∽△OED，所以2222222212222243()()||434343||()43ckckckSGDkkkckSODk………………11分22224222224