电磁场与微波-毕刚课后习题答案

电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8章）来源：hst10k1电磁场与微波课后习题答案（毕岗）第一章1-1已知矢量A⃗⃗=2x⃗+3y⃗+z，B⃗⃗=x⃗−2y⃗−4z，C⃗=3x⃗−2y⃗−z，求(1)A⃗⃗+B⃗⃗；(2)A⃗⃗−B⃗⃗；(3)A⃗⃗∙B⃗⃗；(4)A⃗⃗×B⃗⃗；(5)A⃗⃗×B⃗⃗∙C⃗；(6)A⃗⃗∙(B⃗⃗×C⃗)。解：(1)A⃗⃗+B⃗⃗=3x⃗+y⃗−3z；(2)A⃗⃗−B⃗⃗=x⃗+5y⃗+5z；(3)A⃗⃗∙B⃗⃗=−8；(4)A⃗⃗×B⃗⃗=−10x⃗+9y⃗−7z；(5)A⃗⃗×B⃗⃗∙C⃗=−41；(6)A⃗⃗∙(B⃗⃗×C⃗)=-41。1-2已知矢量A⃗⃗=x⃗+2y⃗+3z,B⃗⃗=3x⃗−2y⃗−z，求(1)A⃗⃗和B⃗⃗的大小；(2)A⃗⃗和B⃗⃗的单位矢量；(3)A⃗⃗和B⃗⃗之间的夹角；(4)A⃗⃗在B⃗⃗上的投影。解：(1)|A⃗⃗|=√14，|B⃗⃗|=√14；(2)eA⃗⃗=√1414x⃗+2√1414y⃗+3√1414z，eB⃗⃗=3√1414x⃗−2√1414y⃗−√1414z；(3)θ=arccos−27；(4)BA⃗⃗⃗⃗⃗=−67x⃗+47y⃗+27z1-3证明：若A⃗⃗∙B⃗⃗=A⃗⃗∙C⃗和A⃗⃗×B⃗⃗=A⃗⃗×C⃗且A⃗⃗≠0，则B⃗⃗=C⃗。证明：因为A⃗⃗×B⃗⃗=A⃗⃗×C⃗，所以A⃗⃗×(B⃗⃗−C⃗)=0。又因A⃗⃗≠0，所以B⃗⃗−C⃗=0，因此B⃗⃗=C⃗。1-4证明：如果A⃗⃗，B⃗⃗和C⃗在同一平面上，则A⃗⃗∙(B⃗⃗×C⃗)=0。证明：因为B⃗⃗，C⃗在同平面，所以(B⃗⃗×C⃗)⊥S⃗，因此(B⃗⃗×C⃗)⊥A⃗⃗，故θ=90°。A⃗⃗∙(B⃗⃗×C⃗)=|A⃗⃗|∙|B⃗⃗×C⃗|∙cosθ=0。1-5求点A⃗⃗(2,3,1)指向B⃗⃗(1,3,1)的单位矢量和两点间的距离。解：AB⃗⃗⃗⃗⃗=B⃗⃗−A⃗⃗=(−1,0,0)，|AB⃗⃗⃗⃗⃗|=1，eAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,0)。1-7求标量场u=xyz在(1,1,1)点上的值。理解矢量场和标量场之间的区别。解：u|(1,1,1)=xyz|(1,1,1)=1，矢量场有方向，标量场无方向。1-8求函数u(x,y,z)=arcsinx√x2:y²的值面方程。1-9求与矢量A⃗⃗=x⃗+y⃗+z，B⃗⃗=3x⃗−2y⃗−z都正交的单位矢量。解：设单位矢量C⃗=ax⃗+by⃗+cz,则由{A⃗⃗∙C⃗=0B⃗⃗∙C⃗=0a²+b²+c²=0，得C⃗=−2√515x⃗+√53y⃗−4√515z或C⃗=−2√515x⃗−√53y⃗+4√515z。1-10将直角坐标系中的矢量场A⃗⃗=xx⃗+yy⃗+zz分别用圆柱坐标系和球坐标系表示。解：ρ=√x²+y²，φ=arctanyz，r=√x²+y²+z²，θ=arccosz√x²:y²:z²，A(ρ,φ,z)=√x²+y²+z²ρ⃗+(arctanyz)φ⃗⃗+zz，A(r,θ,φ)=√x²+y²+z²r+arccosz√x²:y²:z²θ⃗+电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8章）来源：hst10k1arctanyxφ⃗⃗。1-11将圆柱坐标系中的矢量场A⃗⃗(ρ,φ,z)=ρρ⃗+φφ⃗⃗,别用直角坐标系和球坐标系表示。解：x=ρcosφ，y=ρsinφ，r=√ρ²+z²，θ=arctanρzA⃗⃗(x,y,z)=ρcosφx⃗+ρsinφy⃗+zz，A(r,θ,φ)=√ρ²+z²r+arctanρzθ⃗+φφ⃗⃗。1-12将球坐标系中的矢量场A⃗⃗(r,θ,φ)=rr,别用直角坐标系和圆坐标系表示。解：x=rsinθcosφ=0，y=rsinθsinφ=0，z=rcosθ=r，ρ=√x²+y²=0，A⃗⃗(x,y,z)=rz，A(ρ,φ,z)=rz。1-13求标量场u(x,y,z)=x²y²z²的梯度及在点M(2,3,1)沿方向l=4√50x⃗+5√50y⃗+3√50z的方向导数。解：∇u|(2,3,1)=36x⃗+24y⃗+72z，cosα=4√50，cosβ=5√50，cosγ=3√50，方向导数∂μ∂l|μ=48√2。1-14求u(ρ,φ,z)=ρcosφ的梯度。解：∇u=cosφρ⃗−sinϕφ⃗⃗。1-15求u(r,θ,φ)=r²sinθcosφ的梯度。解：∇u=2rsinθcosφr+rcosθsinφθ⃗−rsinφφ⃗⃗。1-16在球坐标系中，已知ϕ=pcosφ4πε0r2，p和ε0为常数，求矢量场E⃗⃗=−∇ϕ。解：E⃗⃗=−∇ϕ=2pcosφ4πε0r3r+psinφ4πε0r3sinθφ⃗⃗。51-17在圆柱坐标系中，矢量场E⃗⃗(r)=kr2r，其中k为常数，证明矢量E⃗⃗(r)对任意闭合曲线l的环量积分为0，即∮E⃗⃗∙ldl=0。证明：∇×E⃗⃗=0，由斯托克斯定理，得∮E⃗⃗∙ldl=∬∇×E⃗⃗S∙dS⃗=0。1-18计算下面矢量的散度：(1)直角坐标系A⃗⃗(x,y,z)=yzx⃗+xzy⃗+xyz，并求其在(1,0,−1)处的值；(2)圆柱坐标系A⃗⃗(ρ,φ,z)=ρ⃗+ρφ⃗⃗；(3)球坐标系A⃗⃗(r,θ,φ)=kr²r，k为常数。电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8章）来源：hst10k1解：(1)∇×A⃗⃗=0；(2)∇×A⃗⃗=1ρ；(3)∇×A⃗⃗=0。1-19在由ρ=5，φ=0，z=4围成的圆柱形区域中，求矢量A⃗⃗(ρ,φ,z)=ρ2ρ⃗+2zz的散度，并验证高斯散度定理。解：∇∙A⃗⃗=3ρ+2；证明：由于∰∇∙A⃗⃗∙dVV=∫∫∫(3ρ+2)∙dρdφdz2π04050=1200π，∯A⃗⃗∙dS⃗S=∯A⃗⃗∙dSz⃗⃗⃗Sz−∯A⃗⃗∙dSz⃗⃗⃗Sz+∯A⃗⃗∙dSφ⃗⃗⃗⃗Sφ=∫∫(ρ2ρ⃗+2zz)∙ρ⃗ρdφdz2π040|ρ5=1200π，故∰∇∙A⃗⃗∙dVV=∯A⃗⃗∙dS⃗S，因此高斯散度定理成立。1-20已知矢量A⃗⃗(x,y,z)=y²z²x⃗+x²z²y⃗+x²y²z，(1)求∇∙A⃗⃗；(2)求∇∙A⃗⃗对中心立方体的积分；(3)求A⃗⃗对立方体表面的通量，并验证散度定理。解：(1)∇∙A⃗⃗=0；(2)∰∇∙A⃗⃗∙dVV=0；(3)∯A⃗⃗∙dS⃗S=0，验证因为∰∇∙A⃗⃗∙dVV=∯A⃗⃗∙dS⃗S，所以高斯散度定理成立。1-21求下列函数的∇²u：(1)直角坐标系u(x,y,z)=x²y²z；(2)圆柱坐标系u(ρ,φ,z)=ρ；(3)球坐标系u(r,θ,φ)=kr，k为常数。解：(1)∇2u=2y2z+2x2z；(2)∇2u=1ρ；(3)∇2u=0。1-22求下列矢量场的旋度：(1)直角坐标系A⃗⃗(x,y,z)=xx⃗+x²y⃗+y²zz；(2)圆柱坐标系A⃗⃗(ρ,φ,z)=ρcos²φρ⃗+ρsinφφ⃗⃗；(3)球坐标系A⃗⃗(r,θ,φ)=2cosθr³r+sinθr³φ⃗⃗。解：(1)∇×A⃗⃗=2yzx⃗+2xz；(2)∇×A⃗⃗=2(sinφ+cosφsinφ)z；(3)∇×A⃗⃗=2cosθr´r+2sinθr´θ⃗+2sinθr´φ⃗⃗。电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8章）来源：hst10k11-23求矢量场A⃗⃗(x,y,z)=x²x⃗+xy²y⃗沿圆周x²+y²=a²的线积分。再求∇×A⃗⃗对此圆周所围面积的面积分，并验证斯托克斯定理。解：x=acosφ，dx=−asinφdφ，y=asinφ，dy=acosφdφ，∮A⃗⃗∙ldl=∫(−a3cos3φsinφ+a4cos2φsin2φ)∙dφ2π0=∮(x²x⃗+xy²y⃗)∙(x⃗dx+y⃗dy)l=a´π4，∯∇×A⃗⃗∙dS⃗S=∯y²z∙dS⃗S=a´π4，因此∮A⃗⃗∙ldl=∯∇×A⃗⃗∙dS⃗S，故斯托克斯定理成立。1-24已知矢量场A⃗⃗(x,y,z)=yx⃗−xy⃗，计算A⃗⃗∙∇×A⃗⃗。解：∇×A⃗⃗=−2z，A⃗⃗∙∇×A⃗⃗=0。1-25证明矢量场A⃗⃗(x,y,z)=yzx⃗+xzy⃗+xyz既是无散场又是无旋场。证明：因为A⃗⃗=0，∇×A⃗⃗=0，所以A⃗⃗(x,y,z)既是无散场又是无旋场。1-26证明∇×(ΦA⃗⃗)=Φ∙(∇×A⃗⃗)+∇∙Φ×A⃗⃗。证明：因为右边=Φ∙|x⃗y⃗z∂∂x∂∂y∂∂zAₓAyAz|+|x⃗y⃗z∂Φ∂x∂Φ∂y∂Φ∂zAₓAyAz|=(Φ∂Az∂y−Φ∂Ay∂z+∂Φ∂yAz−∂Φ∂zAy)x⃗+(Φ∂Aₓ∂z−Φ∂Az∂x+∂Φ∂zAₓ−∂Φ∂xAz)y⃗+(Φ∂Ay∂x−Φ∂Aₓ∂y+∂Φ∂xAy−∂Φ∂yAₓ)z=(∂ΦAz∂y−∂ΦAy∂z)x⃗+(∂ΦAₓ∂z−∂ΦAz∂x)y⃗+(∂ΦAy∂x−∂ΦAₓ∂y)z=|x⃗y⃗z∂∂x∂∂y∂∂zΦAₓΦAyΦAz|=左边，所以∇×(ΦA⃗⃗)=Φ∙(∇×A⃗⃗)+∇∙Φ×A⃗⃗。1-27已知矢量A⃗⃗、B⃗⃗分别为A⃗⃗=z²sinφρ⃗+z²cosφφ⃗⃗+2zρsinφz和B⃗⃗=(3y2−2x)x⃗+x²y⃗+2zz，求(1)哪个矢量可以由一个标量的梯度表示；(2)哪个矢量可以由一个矢量的旋度表示；(3)它们的源分布。解：∇×A⃗⃗=0，∇×B⃗⃗=2(x−3y)z，∇∙A=2ρsinφ，∇∙B=0。(1)A⃗⃗可以由一个标量的梯度表示；(2)B⃗⃗可以由一个矢量的旋度表示；(3)A⃗⃗有散场无旋场，B⃗⃗无散场由旋场。第二章2-1半径为a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为ρ=r2，r为圆盘上任意点到圆心的距离，求圆盘上的总电量。解：Q=∬ρ∙dφdrS=∫r3∙dra0∙∫dφ2π0=πr42。电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8章）来源：hst10k12-2半径为a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为Q，若该球以角速度ω绕其自身的任意中轴旋转，求球体内的体电流密度。解：JV⃗⃗⃗=3qωrsinθ4πa3φ⃗⃗。2-3无限薄的导电面放置于z=0平面内的0𝑥0.05𝑚的区域中，流向y⃗方向的5A电流按正弦规律分布于该面内，在x=0和x=0.05m处线电流密度为0，在x=0.025m处线电流密度为最大，求JS⃗⃗的表达式。解：JS⃗⃗=y⃗5sin(πx0.05)。2-4三根长度为l、电荷均匀分布、线密度分别为ρl1，ρl2和ρl3的线电荷构成的等边三角形，设ρl1=2ρl2=2ρl3，计算三角形中心处的电场。解：Ey⃗⃗⃗⃗=ρh4πε0∫dx√(h2:x2)3l2;l2=2ρl4πε0h√4h2:l2，由电荷密度关系可知：2|E1|=|E2|=|E3|，|E2|=2E，|E1|=E，|E3|=2E，因此，E1⃗⃗⃗⃗+E2⃗⃗⃗⃗+E3⃗⃗⃗⃗=0。2-5两无限长的同轴圆柱壳面，半径为a和b，内外导体上均匀分布电荷，密度分别为ρS1，ρS2，求r𝑎，a𝑟𝑏，r𝑏时各点的电场及两导体间的电压。解：当r𝑎时，E⃗⃗=0；当a𝑟𝑏时，E⃗⃗=ρS1a:ρS2brε0r，U=∫E⃗⃗∙drba=(ρS1a+ρS2b)ε0lnab。2-6半径为a的球中充满密度为ρ(r)的电荷，已知电场为Er={r3+Ar2，r≤a(a5+Aa4)r2⁄，r𝑎，球电荷密度ρ(r)。解：当r≤a时，ρ=∇∙D⃗⃗=ε0∇∙E⃗⃗=5ε0r2+4Ar；当r𝑎时，ρ=∇∙D⃗⃗=ε0∇∙E⃗⃗=0。2-7半径为a和b(a𝑏)的两个同心导体球面，球面上电荷分布均匀，密度分别ρS1、ρS2，应用高斯定理求任意r点的电场及两导体间的电压。解：当r𝑎时，∯E⃗⃗∙dS⃗=1ε0∭ρ∙dvV=0，E⃗⃗=0；当a≤r≤b时，∯E⃗⃗∙dS⃗=1ε0∭ρ∙dvV=4πa2ρS1ε0，E⃗⃗=a2ρS1ε0r2r，当r≥b时，∯E⃗⃗∙dS⃗=1ε0(4πa2ρS1+4πb2ρS2)，E⃗⃗=1ε0r2(a2ρS1+b2ρS2)，电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8