大一高数(上)

姓名：班级：学号：1/8第一章函数、极限、连续（小结）一、函数1.邻域：以为中心的任何开区间；()Ua,()Uaoa2.定义域：tan{};2yxxkcot{};yxxk；arctan{,(,)}22yxxRyarcsin{[1,1],[,]}22yxxy.arccos{[1,1],[0,]}yxxy二、极限1.极限定义：（了解）若对于，，当时，有；limnnxa0NZ.stnN||nxaNote：||?nxan，，当时，有；0lim()xxfxA00.st00xx()fxANote：0()?fxAxx，，当时，有；lim()xfxA00X.stxX()fxANote：()?fxAx2.函数极限的计算（掌握）（1）定理：；（分段函数）0lim()xxfxA0()fx0()fx0lim()xxfxA（2）型：①约公因子，有理化；比如：，；002311lim1xxx2131lim2xxxxx②重要极限；0()0sinsin()limlim1()xuxxuxxux③等价无穷小因式代换：，，tan,sin,sinxxxxarcxx:::1cos~x212x，，11~nx1nxe1~xxln(1)~xx型：先通分；比如：2112lim11xxx型：转化为无穷小；比如：221lim2xxxx型：重要极限；111()0()0lim1lim1()xuxxuxxuxe（3）无穷小量：无穷小无穷小=无穷小；无穷小有界量=无穷小姓名：班级：学号：2/8比如：coslim2xxx（4）函数极限与无穷小的关系：（抽象函00lim()(),lim0xxxxfxAfxA其中：数）（5）微分中值定理：；比如：（第3章）()()()fbfafba1arctanarctan1lim1xxx（6）罗必达法则：比如：（第3章）00()()0limlim,()()0xxxxfxfxgxgx20tanlimsinxxxxx3.数列极限的计算：夹逼原则：222111lim12nnnnnL积分定义：；；.（第五章）1011lim11nniixdxnnlim0(||1)nnqqlim1nna三、连续1.函数在点处连续：.0x00lim()()xxfxfx一切初等函数在其定义域都是连续的.2.闭区间上函数连续的性质：最大最小值定理：若在上连续，则在上一定有最大、最小值.()fx[,]ab()fx[,]ab零点定理：设，且，()[,]fxCab()()0fafb至少有一点，使得(,)ab()0f介值定理：设，且，()[,]fxCab()faA(),fbBAB则对之间的任意常数，至少有一点，使得.,ABC(,)ab()fC四、间断点1．第一类间断点：、存在0()fx0()fx若，则称为可去间断点；000()()()fxfxfx0x若，则称为跳跃间断点；00()()fxfx0x2.第二类间断点：、至少一个不存在0()fx0()fx若其中一个趋向，则称为无穷间断点；0x姓名：班级：学号：3/8若其中一个为振荡，则称为振荡间断点；0x第二章导数与微分（小结）一、导数的概念1.0()fx0limxyx000()()limxfxxfxx000()()limhfxhfxhNote：①该定义主要用于相关定理的分析与证明；②导函数求导公式：.()fx0()()limhfxhfxh2.分段函数在分段点处可导性判别：定理：在处可导在处即左可导，又右可导()fx0x()fx0x,.0()fx000()()limxxfxfxxx0()fx000()()limxxfxfxxx3.导数的几何意义：切线斜率，即0()kfx当时，曲线在点处的切线、法线方程为：0()fx00(,)xy切线方程：；法线方程：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx二、导数的运算1.四则运算：；；00()()()()uxvxuxvx[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx；2()()()()()()()uxuxvxuxvxvxvx2.反函数求导：，互为反函数，则()yfx()xy1()()fxy3.复合函数求导：，则.()yfxd()()dyfuxx4.隐函数求导：两边关于求导，把看成是的函数.(,)0Fxyxyx5.参数方程：则(),(),xxtyyt()()dydydtytdydxdtdtdxdtdxxt三、微分1.微分的概念：若有成立，记作：00()()yfxxfx{()dyAxoxdyAx姓名：班级：学号：4/8Note：,；()dyAxAdxfxdx(),()yfxdyfxdx2.微分在近似计算中的应用（1）近似计算.000()()()()fxfxfxxx第三章微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1、罗尔(Rolle)中值定理：内至少存在一点，使得.(,)ab()0fNote：①证明导函数根的存在性.②证明原函数根的唯一性.2、拉格朗日中值定理：在内至少存在一点,使得.(,)ab()()()fbfafbaNote：①把用做代换，求极限.()()fbfaba()f②由建立不等式，用于证明不等式.ab3、柯西中值定理：在内至少存在一点,使得：(,)ab()()()()()()ffbfaggbgaNote：用于说明洛必达法则.二、洛必达法则（1）可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用.（2）若，不为分式，可通过令：，创造分式.-1xt比如：21lim[ln(1)]xxxx三、函数图形的描绘（1）写定义域，研究的奇偶性、周期性；()fx（2）求，；()fx()fx（3）令可疑极值点，可疑拐点；()0()fxfx不1x()0()fxfx不2x（4）补充个别特殊点，求渐近线：，；lim()xfxC0lim()xxfx（5）列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点；（6）画图111222()()()xxxxxxxfxfxfxZ]Z极值点拐点0000-001Z^[][^通分取倒数取对数姓名：班级：学号：5/8五、最值的计算:（1）求在内的可疑极值点：()fx(,)ab12,,,mxxxL（2）最大值：12max(),(),,(),(),()mMfxfxfxfafbL特别的，（1）在上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点.()fx[,]ab（2）在上单调时，最值必在端点处达到.()fx[,]ab（3）对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.第四章不定积分一、不定积分：，()d()fxxFxCNote：①为积分常数不可丢！C②()d()dfxxfxdx()d()FxxFxC③；.[()()]d()d()dfxgxxfxxgxx()d()dkfxxkfxx④几个常用的公式，dxx111xCdxaxlnxaCa1dxxlnxC，，sectandxxxsecxCcsccotdxxxcscxC二、换元积分法：1..()[()]()d()duxfxxxfuuNote：①常见凑微分：2111(),(),2(),(ln||)2dxdxcxdxdxcdxdxcdxdxcxx2211(tan)(cot),(arcsin)(cos)1+1dxdarcxdarcxdxdxdarcxxx②适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：，若被积函数多于两个，比如：，要分成两类；21dxex4sincosd1sinxxxx姓名：班级：学号：6/8③一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成；()x④若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；2.()()d[()]()duxfuufxxxNote：常见代换类型:，，(,)dnfxaxbxntaxb22(,)dfxxaxsecxat，，22(,)dfxaxxsinxat22(,)dfxaxxtanxat，，()dxfaxxta(,)daxbncxdfxxaxbncxdt三、分部积分法：.duvxuvuvdxNote：①按“反对幂指三”的顺序，谁在前谁为u②要比容易计算；uvuv③适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：，（）；arcsin1xdxxedxtx④多次使用分部积分法：uuuvvv求导积分三、有理函数的积分1.假分式=多项式+真分式；()()PxQx2.真分式=（拆成）若干部分分式之和；Note：拆项步骤：①将分母分解：()Qx2()xa22()xpxq240pq②根据因式的情况将真分式拆成分式之和：11211222222()()()PxAABxCBxCQxxaxpxqxpxqxa3.逐项积分.注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！第五章定积分一、定积分的概念及性质1.定义：，其中；01()lim()nbiiaifxdxfx()=ibain姓名：班级：学号：7/82．几何意义：——曲边梯形面积()0,()dbafxfxx——曲边梯形面积的负值()0,()dbafxfxx3.性质：（1）,;()d()dbaabfxxfxx()d0aafxx（2）dbaxba（3）;()d()dbbaakfxxkfxx（4）;[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx（5）;()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx（6）若在上，则;[,]ab()0fx()d0bafxx（7）设，则;[,][,]max(),min()ababMfxmfx()()d()bambafxxMba（8）积分中值定理：，.()d()()bafxxfba[,]ab4.变上限函数：()()dxaxfttNote：；d()ddbxfttx()fx()d()ddxafttx[()]()fxx()()d()ddxxfttx()()d()d()ddaxxafttfttx[()]()[()]()fxxfxx5.牛顿—莱布尼茨公式：.()d()()()bbaafxxFxFbFa二、定积分的计算1.换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限；2.分部积分：；=uvbbbaaauvdxuvdx3.若为奇函数，则；()fx()0aafxdx若为偶函数，则.()fx0()2()aaafxdxfxdx4.广义积分：()lim();()lim();aaabbbbafxdxfxdxfxdxfxdx三、定积分的应用姓名：班级：学号：8/81.平面图形的面积直角坐标：()db