3.2刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒

§3.2定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律《大学物理》祝之光编高等教育出版社曹青松Email:[e-mail]v1质点的动量矩vmrprLvrLLrxyzom质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点O的位矢为，质点相对于原点的动量矩为mrvsinvrmL大小的方向符合右手法则.L一、动量矩一、动量矩Lrpmo如质点以角速度作半径为的圆运动，相对圆心的动量矩:rJmrL2z质点对定点O的动量矩在某给定轴OZ上的投影称为质点对轴OZ的动量矩。zL0L200z0cosmrLLLo2刚体对转轴的动量矩iiiiiiirmrmL)(2vOirimivJLz一、动量矩由多刚体组成的系统：21LLLL为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向.二、刚体定轴转动的动量矩定理刚体转动的转动定律：JMdtdJdtJd)（dtdL即：刚体所受的外力矩等于动量矩对时间的变化率。dLMdt1221dJJtMtt∴作用于刚体上冲量矩等于刚体动量矩的增量。动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的动量矩.守恒条件0M0M若讨论exinMM在冲击等问题中L常量三、刚体定轴转动的动量矩守恒，则0dtdL常量JLL0有许多现象都可以用动量矩守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水注意1.对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变.2.动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.被中香炉惯性导航仪（陀螺）动量矩守恒定律在技术中的应用例1：质量为m1，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦的转动，它原来静止在水平位置处，现在一质量为m2的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直相撞，撞后，棒从平衡位置处摆动达到最大角度,求：（1）碰后瞬间棒的角速度（2）小球的初速度Oo30m2,，vmoLL0Jωmlmlvv0（1）0v解：球与杆在碰撞过程中，所受外力矩近似为零，在水平面上，碰撞过程中系统动量矩守恒.即：例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为m的小球以与杆垂直的速度与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度及杆的转动角速度.0vv弹性碰撞EM守恒222212121Jωmmvv0（2）2231)2(121lmlmJ''其中mo0v联立(1)、(2)式求解mmm-m3)3(''0vvlmmm)3(6'0v例3一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为,跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M落在A点的速度21M)2(ghv碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度2lu'm把M、N和跷板作为一个系统,动量矩守恒21M)(2ghv2lu22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得演员N以u起跳,达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh例4质量很小长度为l的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率垂直落在距点O为l/4处,并背离点O向细杆的端点A爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712v解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒l0712v由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg