§9.3-可积条件--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

判别一个函数f(x)在[a,b]上是否可积,就是判别极限是否存在.在实际应用中，直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性.为此,先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件,连续性是可积的充分条件而非必要条件.§3可积条件数学分析第九章定积分01lim(),Tniiifx§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.1（可积必有界）若函数在上可积，则在上必有界.ff],[ba],[ba证设()d.bafxxJ由定义,对1Δ1niiif()xJ,于是1[,](1,2,,),iiixxin与如何选取,01,0,T只要T无论后退前进目录退出都有1Δ1niiif()xJM.§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社1[,].kkxx上无界()Δ,iiikGfx1[,],kkkxx故必存在满足().kkMGfx()[,]fxab倘若在上无界，,k则必有()fx使得在令于是1()Δniiifx()Δ()ΔkkiiikfxfxΔkkMGxGx,M矛盾.§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社1Q[,],1,2,,,iiixxin现任取1()ΔniiiDxR,0,J证若D(x)在[a,b]上可积,1()Δ.2niiibaDxJ(1)Dx试用反证法证明:狄利克雷函数例在任何[,].ab区间上不可积,T当时1[,],iiixx对任何有则则1Δ.niixba§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社于是11()Δ()Δ,nniiiiiiDxDxba而这与11()Δ()ΔnniiiiiiDxDx1[,]\Q,1,2,,,iiixxin又任取则1()Δ0.niiiDx所以[,]().abDx在上不可积=b-a相矛盾,niiiniiiJxDJxD1122baba§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定义2,...:10bxxxaTn称为f关于分割T的上和,1()ΔniiiSTMx1sup()|[,],1,2,;iiiMfxxxxin称为f关于分割T的下和,1()ΔniiisTmx1inf()|[,],1,2,;iiimfxxxxin[,],fab设在上有界对任意分割1(1,2,)[,]iiiiiMminfxx称为在上的.振幅其中其中§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.3（可积准则）函数f在[a,b]上可积的充要条件是：0,,T分割使1()()()ΔniiiiSTsTMmx振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连续性相关联的概念.1Δ.niiix§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.4（连续必可积）11ΔΔ.nniiiiixxba常见的有三种方法,下面分别作出介绍.每个,iba从而第一种方法:,[,].abf例如在上一致连续的,便属于这种情形连续，则可积.若[,]fab在上[,]fab在上此定理将在本章第六节定理9.15中证明.在用它.1niiix证明可积性问题时,有多种方法可使§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社()().fxfxbaiiimM1sup{()(),[,]}iifxfxxxxx，,ab从而11ΔΔ.nniiiiixxba因此当[,]abTT上的分割满足时,,xx若则从而在[a,b]上一致连续.证[,]fab在上连续，于,0是,0,[,],xxab§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社,[,]fab例如在上单调时,有1()(),niifbfa第二种方法:||||,TM则当时1,niiM[,]fab从而可证在上可积.nii1有界，若,M即对任意分割，niiniiiTx11MM.定理9.5（单调必可积）[,][,]fabfab若是上的单调函数,则在上可积.§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社f证不妨设是非常值的增函数，01:...,nTaxxxb1()(),1,2,,,iiifxfxin于是因此,若,()()Tfbfa则则对任意分割111()()nniiiiifxfx()().fbfa11ΔnniiiiixT.)()()()(afbfafbf§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社Δ,iix在中Δiix而在中，,)(2abi,)(2mMxiΔΔΔ,iiiiiixxx若第三种方法:,1,2,,.iMmin[,].Mmfab其中是在上的振幅于是iiiiiixxx)()(2)()(2mMmMabab.从而§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）0,取满足0().2()baMm若[,]fab在上有界,且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明f可积.f在[a,b]上可积.只有一个间断点,且为b.证不妨设[,]fab在上[,]fab若在上有界，且只有有限多个间断点，则[,].Mmfab其中与分别为在上的上确界与下确界§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社,...:110bxxxaTn使.2Tiix则存在分割[,]fab由于在上连续,[,],fbb设在上的振幅为则().2()2MmMm令,...:10bxxxaTn则TiixTiix.22[,].fab由可积准则,在上可积§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社[0,1]在上可积,且10()d0.Rxx例2证明黎曼函数1,(,),()0,0,1(0,1)pxpqqqRxx互素及中的无理数证只有有限多个,分割01:01,nTxxx2.kT使12{,,,}kTrrr中含的小区间至多有,0的有理数prq1[0,1]2q在中满足.,,,21krrr设它们为[0,1]对作2k个,记为.i§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社Δ2.2ixkki由于在12{,,,}{}.kiTrrr中不含的区间记为0(),2Rx上.2i于是从而因此这些小区间长度之和为§3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社().Rx这就证明了的可积性(),Rx由于已证得可积而且无理数具有稠密性,1[,](1,2,,)iiixxin因此可取皆为无理数,1001()dlim()Δ0.niiTiRxxRx从而iixiiiixxiixx221.22复习思考题数学分析第九章定积分高等教育出版社1.f(x)为[a,b]上的有界函数,其不连续点的集合011(,),||.nnikkkkkEabba且证明f在[a,b]上可积.2.f(x)在[a,b]上不连续点的集合为0E,它们在试问f在[a,b]上是否一定不可积？0[,][,],[,].abE[a,b]中稠密,即0,(,)[,],0,1,,,kkababkn使为E0.若