水波动力学

p1HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity第8章水波动力学基础ShehuaHUANG武汉大学水利水电学院水资源与水电工程科学国家重点实验室2010.11p2HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity本章内容ˆ波浪概述ˆ微幅有限水深行进波ˆ微幅深水行进波和浅水长波ˆ微幅有限水深驻波ˆ线性水波的色散关系p3HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityˆ1波浪概述1.1波浪分类1.1波浪分类z按波浪所受的作用力分类重力波：周期1～30s的波浪，其主要干扰力是风，之后维持波浪运动的作用力或者恢复力是重力。潮汐波：由月球对地球海水的引力而产生的波浪。海啸（波）：由海底地震、沉陷或水下爆炸而引起的波浪。z按波浪传播区域的水深分类深水波：h/L≥0.5；有限水深波：0.5＞h/L＞0.05；浅水波：h/L≤0.05。其中h是水深，L是波长。p4HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityz按波浪的理论分析方法分类微幅波：波高与水深的比值很小，此时基本方程的边界条件中非线性项可以忽略，从而使其线性化，所以又称为线性波；有限振幅波：波高与水深相比不能忽略，边界条件中非线性项也不能忽略波称为有限振幅波。我们主要讨论微幅波的理论，又称为艾利（airy）波。p5HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityp6HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityp7HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity1.2波浪的描述方法1.2波浪的描述方法z欧拉法亦称局部法，它是以空间某一固定点为研究对象，研究任一质点流过固定点的运动特性。欧拉法研究的是某一流场的变化，它能给出某一固定时刻空间各点的速度大小和方向，亦即给出流线(Streamline)。z拉格朗日法亦称全面法，它以空间某一质点为研究对象，研究该质点相对于初始条件的各个不同时间的位置、速度和加速度等。拉哥朗日法研究的是某一质点的位置变化，即质点运动轨迹或称迹线　(Pathline)。p8HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityz波浪基本特征：波高、波长、波数、圆频率和周期图4水波自由面示意p9HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity在如图所示的xoz坐标系中，x轴位于静止的水面上。在任意时刻t，水波自由面波形的传播可表示为：)(ctxf−=η当x-ct=常数时，水面波形不变，对t求导数得c=dx/dt。所以上式表水波以速度c沿x方向传播，c0为沿x正向，反之为负向。进一步设水面波形为余弦形式，并将上式改写为：)cos(2tkxHση−=参考图4可见，H称为波高，k称为波数，σ称为圆频率。显然c=σ/k。波数：2π长度范围内波的个数。p10HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity圆频率：2π时间范围内波的起伏振动次数。设波长为L，波动周期为T，则由上式可得：)cos(2tkxHση−=kTLcTTLkkLσπσσπππ==⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2,22,2所以波速c表示单位时间内水波波形移动（传播）的距离。p11HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityˆ2微幅有限水深行进波2.1基本方程和边界条件2.1基本方程和边界条件z水波运动基本假设9流体是均质和不可压缩的理想无粘性流体；9自由水面的压力为常数；9水流运动是无旋的；9海底水平、不透水；9流体上的质量力仅为重力；9波浪属于平面运动，即在xoz平面内作二维运动。p12HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversityz基本方程和边界条件根据上述假设，水波运动存在速度势函数φ，且有：kwiuVrrr+=kzixVrrr∂∂+∂∂=∇=ϕϕϕ由不可压缩流体的连续性方程得：0=∂∂+∂∂zwxuzwxu∂∂=∂∂=ϕϕ02222=∂∂+∂∂zxϕϕ02=∇ϕor此即水波运动的基本方程，为拉普拉斯方程。（是线性的）p13HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity基本方程的边界条件为：1）在水体底面（海底）：水流质点的垂直速度应为零，即hzz−==∂∂,0ϕ0=−=hzw2）在自由波面上，有两个边界条件：9动力边界条件：由假设自由水面压力为常数并令p=0，根据伯努里方程（柯西-拉格朗日积分）有02122=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂==ηϕϕϕηηgzxtzz非线性p14HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity9自由波面的运动学边界条件：ztzwxtxu∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=ϕϕ0),(),,(),,(=−==txztzxFtxzηηηϕϕηη==∂∂−∂∂∂∂+∂∂zzxxt,0非线性项两边求导得3）波流场左、右两端面的边界条件：),(),,(zctxtzx−=ϕϕz水波动力学定解问题（数学模型）p15HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity02122=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂==ηϕϕϕηηgzxtzz02222=∂∂+∂∂zxϕϕhzz−==∂∂,0ϕηϕϕηη==∂∂−∂∂∂∂+∂∂zzxxt,0),(),,(zctxtzx−=ϕϕzwxu∂∂=∂∂=ϕϕ(流速场)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂−−=2221zxtgzpϕϕρϕρρp(压力场)p16HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity2.2微幅有限水深行波的解2.2微幅有限水深行波的解z水波运动定解问题的线性化在微幅波条件下，可以认为：波高HL（波长），因此1/=LHε流体速度的量级可用波高/周期比H/T来度量，因此速度势函数的量级为：LTHxdV~∫⋅=vvϕ用以上特征量H/T、L对前述数学模型作无量纲化处理，即ϕϕηη~,~,~),~,~,~(),~,(TALtTthzxLhzx====p17HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity将以上各式代入数学模型的各方程和边界条件中，整理得：0~~~2222=∂∂+∂∂=∆zxϕϕϕhzz~~,0~−==∂∂ϕ⎪⎩⎪⎨⎧==+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂ηεηϕϕεϕ~,0~~~2~222zLgTzxtηεϕϕηη~~,0~~~~~~~~==∂∂−∂∂∂∂+∂∂zzxxt略去方程中的高阶小量，即令ε→0，即得线性化的微幅波控制方p18HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity0,0==+∂∂zgtηϕ02222=∂∂+∂∂zxϕϕhzz−==∂∂,0ϕ0,0==∂∂−∂∂zztϕη线性化的微幅波控制方程z水波运动定解问题的解现在采用分离变量法求解线性化的微幅波控制方程。设水面波形函数和速度势函数分别具有以下形式：)cos(2),(tkxHtxση−=)sin()(),(tkxztxσϕ−Φ=p19HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity称满足上式的水面波形的波为单色行进波（波长为常数）。将以上速度势函数的表达式代入水波运动基本方程（拉普拉斯方程），得到如下常微分方程：)cos(2),(tkxHtxση−=0)()(22=Φ−Φzkdzzd此二阶常微分方程的通解为：)exp()exp()(kzBkzAz−+=Φ其中A,B是积分常数。将此式代入速度势函数的表达式中，运用边界条件确定积分常数后，最后得到：)sin(cosh)(cosh2),(tkxkhhzkgHtxσσϕ−+=p20HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversitykTLcTkLσπσπ====2,2z有限水深行进波的特性9波长和波速将速度势函数的解代入水面的运动学边界条件表达式，整理得)tanh()tanh(22khkgckhgk==σ考虑波长和波速、圆频率的关系，进一步得到：)tanh(2)tanh(22khgTckhgTLππ==由上可见，波长和圆频率之间存在确定的关系。如已知波的周期和水深，可以求得波长和波速。有限水深行进波是色散波。p21HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity9波动水体质点的速度和轨迹由速度势函数求导得：)cos(cosh)(cosh2tkxkhhzkgkHxuσσϕ−+=∂∂=)sin(cosh)(sinh2tkxkhhzkgkHzwσσϕ−+=∂∂=将水平分速与水面波形函数比较得到：0cosh)(cosh+=khhzkgkuση由此可见，水平速度u与η同号。即当波面在静止水面之上时，u0，说明此式水体质点的运动速度与波传播的方向相同；反之则相反。p22HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity再根据迹线方程，有)cos(cosh)(cosh2)(0tkxkhhzkgkHdtxxduσσ−+=−=)sin(cosh)(sinh2)(0tkxkhhzkgkHdtzzdwσσ−+=−=在微幅波假设下，可令方程右端：00,xxzz≈≈然后对上式做积分得到：)sin(sinh)(cosh2000tkxkhhzkHxxσ−+−=−)cos(sinh)(sinh2000tkxkhhzkHzzσ−+−=−p23HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity消去三角函数，得到水流质点的迹线方程为1)()(220220=−+−bzzaxx可见在微幅有限水深行进波中，水体质点的运动轨迹是椭圆。其长、短半轴分别为：khhzkHasinh)(cosh20+=khhzkHbsinh)(sinh20+=p24HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity水波质点轨迹照片p25HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity水波质点轨迹动画p26HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity9波动压强与线性化近似相一致，忽略速度平方项的拉格朗日积分为：tgzp∂∂−−=ϕρρ代入速度势函数后得到：gztkxkhhzkHgpρσρ−−+=)cos(cosh)(cosh2可见式中第二项是静水压强；第一项则称为波动压强。若将上式改为：khhzkKpcosh)(cosh+=)(zKgpp−=ηρ则Kp称为波压敏感系数，随水深z增加迅速减小。η为波形函数。p27HydraulicsandFluidMechanicsLaboratory,WuhanUniversity3.1深水行进波3.1深水行进波ˆ3微幅深水行进波和浅水长波对深水行进波而言，水