数形结合思想解析.讲义

“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。（二）“数形结合思想”在教学中的作用。数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。1.以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。a.数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。b.数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。c.数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。d.解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。2.以“数”解“形”。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。a.对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。又如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等），对长方形的认识才是深刻的。b.几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。c.对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明。（三）、渗透的方法与步骤•在运用数形结合思想分析和解决问题时，•第一要彻底明白一些概念和运算及图形的意义以及特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；•第二是建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；•第三是正确解决问题。（四）、数形结合在教材中的分布点：数形结合思想在小学数学教材中的分布一年级下册七、认识时间例1～例2、练习十五二年级上册四、表内乘法（一）2～6的乘法口诀六、表内乘法（二）十六、例5、例6例2～例4、练习十七看一看、摆一摆二年级下册二、表内除法（一）1.平均分（例1～练习三）除法（例4～练习四）四、表内除法（二）解决问题九、找规律例1、例2、练习二十三三年级上册三、四边形估计、练习十一第6题五、时、分、秒秒的认识、时间的计算七、分数的初步认识几分之一、几分之几、分数大小的比较八、可能性例1～例4、练习二十四九、数学广角排列、组合、掷一掷三年级下册二、除数是一位数的除法口算除法笔算除法：例1~例4三、统计简单的数据分析、平均数六、面积面积和面积单位面积单位间的进率八、解决问题例1、例2、练习五年级下册二、因数与倍数因数与倍数质数与合数三、长方体和正方体特征认识、表面积和体积四、分数的意分数的意义义和性质真分数和假分数约分和通分分数的基本性质六年级上册二、分数乘法分数乘整数分数乘分数简便计算、混合运算求一个数的几分之几是多少的问题稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题三、分数除法例1~例4解决问题（例1、例2、）练习十四、圆圆的面积、例1、例2、练习十六、整理和复习五、百分数用百分数解决问题：例1~例5、整理和复习一、负数例1～例4、练习1六年级下册二、圆柱与圆锥圆柱的认识：例1~例2圆柱的体积：例5-例6、练习3三、比例自行车里的数学正比例和反比例的意义：例1-例3比例的应用：例1~例6、整理和复习四、统计例1-例2六、整理与复习空间与图形统计与概率综合应用（五）渗透策略：1.“以数解形”，“以数解形”就是有些图形过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。2.“以形助数”。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。3.无言引导，数形结合是一种形象化的引导，是学生思维不断深入的过程。比问题式或提示性的语言引导，更易激起学生的观察与思考。4.借错，教师要善于利用错误，甚至开发错误，引导学生认真反省，找出原因。不仅可以借机督促学生主动澄清错误认识，进一步理解掌握知识，避免重蹈覆辙,而且纠错的过程细腻而微妙，有利于培养学生思维的深刻性、细腻性、敏捷性，以及锻炼学生思维的严密性。（六）数形结合在解题中的渗透典型例题：例题1：二年级有３个班，每班有４个三好学生，一共有多少个三好学生？这道题对刚刚接触到乘法的二年级学生来说，有的会以画葫芦的用３×４＝１２或４×３＝１２求出答案，也有的会用３＋４＝７，为什么会出现用加法算式呢？其实是不理解同一算式的两种不同含义，这时，可以将题目的意思用图表示出来，借助下图来理解：在看图的基础上，学生清楚地理解：横看图形，得到４＋４＋４可以表示成３×４或４×３，竖看图形，得到３＋３＋３＋３，可以表示成３×４或４×３，但是老师问学生，：３×４、４×３表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊的表述3*4即表示3个4连加，也表示4个3连加，4*3即表示3个4连加，也表示4个3连加.如果不进行数形结合分析，学生脑中所建构的意义是模糊不清的。所以，在学生表述3*4的意义时，老师应该结合图形强调，3个4连加应该怎样看？（横看）4个3连加又应该怎样看？（竖看）指一指，说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来意义建构乘法算式所表示的意义。这样借助图形变抽象的乘法的意义为具体的事物，帮助学生将头脑中模糊的数学概念逐渐清晰，学生自然就不会出现3+4=7的错误了。例题2：“植树问题”模拟植树，得出线上植树的三种情况。用“-------”代表一段路，用“/”代表一棵树，画“/”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？三种情况：①\___\___\___\两端都种②\___\___\___\___或___\___\___\___\一端栽种③___\___\___\___\___两端都不种通过画图得出：两端都种：棵数＝段数＋1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。以上片段教师利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合使得学生思维发展有了凭借，使学生知其然且知其所以然，同时也强化转化的思想方法。也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。例题3：张老师要买一个打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？方法一：多数同学的解题方法：分购买所花的钱数：（800-500）×80%+500+200=940（元）合着购买所花的钱数：（800+200-500）×80%+500=900（元）合买比分买省的钱数：940-900=40（元）方法二：一名学生的解题方法：200×(1-80%)=40(元)当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。生：合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)，所以可以直接用200×(1-80%)=40(元)来进行计算。这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴涵的数量关系，学生就能很好地理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变简单明了，将抽象的数学问题直观化：借助线段图，变“看不见”为“看得见”，学生便能清晰直观地看到合买合分买的区别，从图中直观地看出真正省的其实就是200元的20％，所以是40元。通过画图表示数量间的关系，将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。实践证明：数形结合可以促进学生思维的灵活性和创造性，获得较优化的方法，可以激发学生的灵感，产生顿悟，直接获得结果。例题4、人民医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？有些学生列出了算式:72×18÷（9×9÷2）,这道题是不是只有这种解题方法呢？这时我运用数形结合，将题目的意思用图表示出来：72里面有几个9？18里面有几个9？引导学生根据题意画出了示意图,可以先求出共有几个正方形，再求有几个三角形，于是有的学生想出：72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等几种算式。这样很好的帮助学生理清数量间的关系，当白布长度不是9米的整数倍时，就不能主观的用面积包含关系来解决这类习题了，否则就不符合实际。例题5：2002年世界杯足球赛C组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？按题意画图为：巴西①土耳其④⑥⑤②中国③哥斯达黎加①②③或：巴西土耳其中国哥斯达黎加④⑤⑥在排列组合题中，排列与顺序无法，组合与顺序有关，但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。而采用直观的画图连线就十分清楚明白了。例题6：五一班同学分三次给敬老院送温暖。第一次送了10千克大米、10千克面粉、10千克食油，合人民币140元；第二次送了20千克大米、15千克面粉、10千克食油，合人民币180元；第三次送了25千克大米、20千克面粉、1