数学归纳法证明不等式

1.对于数学中与自然数命题有关的命题一般是不完全归纳法即合情推理得出结论，怎样来判断结论的正确性？2.阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能使所有的牌倒下的条件是什么？两个基本条件：（1）要推倒第一块牌；（2）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下，（连续性）思考:1．数学归纳法的定义2．数学归纳法适用范围是什么3．数学归纳法的步骤(原理)是什么?4．数学归纳法的步骤中关键及难点是什么?阅读课文，思考下列问题:1.数学归纳法定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取时命题成立．②(归纳递推)假设．第一个值n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立只要完成这两步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关的数学问题。3.数学归纳法的关键与难点：在“归纳递推”中,“证明当n=k+1时命题也成立”,必须利用归纳假设：“当n=k(k≥n0,k∈N*时命题成立”,否则便不是数学归纳法。应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．正整数n[例1]证明：11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.(n∈N*)[分析]第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1成立，并以此作为条件来推证等式11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12(k＋1)＋1成立．[证明](1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．[分析]按照数学归纳法的步骤证明，在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一．[例2]用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2)．[证明]1°当n＝2时，1＋122＝542－12＝32，命题成立．2°假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k22－1k当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)22－1k＋1(k＋1)22－1k＋1k(k＋1)＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．[证明](1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．[例3]求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[例4]平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*)个区域．[分析]本题关键是弄清第k＋1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的．[证明](1)当n＝1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2－k＋2个区域．则当n＝k＋1时，第k＋1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋1个圆将平面分成k2－k＋2＋2k个区域，即(k＋1)2－(k＋1)＋2个区域，故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，命题都成立．[例5]是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．[分析]先取n＝1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的n∈N*，a，b，c所确定的等式都成立．[解析]分别用n＝1,2,3代入解方程组a＋b＋c＝016a＋4b＋c＝381a＋9b＋c＝18⇒a＝14b＝－14c＝0下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上可知等式成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即1(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝14k4－14k2，则当n＝k＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝14k4＋－14k2＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝14(k＋1)4－14(k＋1)2.(为什么？)∴当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)，(2)得等式对一切的n∈N*均成立．例4、已知x1，且x0，nN，n2．求证：(1+x)n1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x1，所以1+x0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+11+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明：（1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x0，∴1+2x+x21+2x=右∴n=1时不等式成立1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[解析]当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.练习:2．用数学归纳法证明11·2＋12·3＋13·4＋…＋1n(n＋1)＝nn＋1(n∈N*)，从“n＝k到n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是()A.1k(k＋1)B.1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)C.1k(k＋2)D.1(k＋1)(k＋2)[解析]当n＝k时，等式左边＝11·2＋12·3＋…＋1k(k＋1)当n＝k＋1时，等式左边＝11·2＋12·3＋…＋1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)两者比较需添加的项为1(k＋1)(k＋2).故应选D.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－112764成立时，起始值n至少应取为()A．7B．8C．9D．10[解析]∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－1271－12＝2－126＝27－126＝12764而1＋12＋14＋…[phone]，故应选B.[解析]当n＝1时，n＋3＝4，所以等式左边为1＋2＋3＋4.二、填空题4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，当n＝1时，左边应为______．5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为________．[解析]当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．三、解答题6．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝13n(4n2－1)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝13k(4k2－1)．则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝13k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝13k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1＝13k[4(k＋1)2－1]－13k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1＝13k[4(k＋1)2－1]＋13(12k2＋12k＋3－8k2－4k)＝13k[4(k＋1)2－1]＋13[4(k＋1)2－1]＝13(k＋1)[4(k＋1)2－1]．即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式都成立．(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有kkkkyyxxyx22222222))(()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk都能被x+y整除.))(()(2222yxyxyyxxkkk、故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例2、用数学归纳法证明:能被8整除.)(1325*1NnAnnn证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.13251kkkA那么:)13(45)13(4)1325(5132511111kkkkkkkkAA因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.例6、平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.)(nf2)1()(nnnf当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,