油罐标尺刻度的设计

数学建模论文油罐标尺刻度的设计班级：姓名：学号：电话：QQ：油罐标尺刻度的设计摘要通过对油罐的理想化处理，本文将问题分成两个步骤，在步骤一中，建立了两个模型：解析模型和数值解法模型；在步骤二中，建立了两个模型：插值模型和二分逼近模型。在步骤一中，本文通过数据说明了数值解法对于复杂问题的精确逼近，可以替代解析方法。在步骤二中，比较两个模型三种方法，找出了它们的不同适用条件。关键词：插值法二分逼近法标尺设计解析法数值精度一、问题重述为了贮存汽油、柴油，经常使用大量的储油罐。油罐由中间的一个圆柱体和两边两个圆锥体拼接而成，上端有一注油孔（如图所示）。由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量，这就给储油量的统计带来很大困难。显然将剩油取出计量是不现实的。希望设计一个精细的标尺：工人们只需将该标尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。二、问题分析本题中，要求设计出一个精细的标尺。通常，刻度尺用来测量比较简单的几何体的某一维度。这里要测量油罐的剩油量，其实就是测量复杂几何体的容积问题。同时要求把几何体的容积转化成一维上的刻度。在本文中，我采取两种步骤：在步骤一，求出复杂几何体在高度成等差数列时下的对应体积；在步骤二，利用已经求出的刻度处的油量，通过插值或二分逼近法求标尺上对应的剩油量体积。三、模型假设在实际情况中，油罐的外形并不一定十分地完美，圆锥体和圆柱体的结合处也不一定十分光滑。在此，为了便于计算和分析，特作如下假设：1、油罐的外形由理想的圆锥体和圆柱体组合而成；2、油罐的圆柱部分和圆柱部分的结合处无缝隙、十分平滑；3、油罐处在水平面上；4、测量油量时，标尺粘带的油量对总油量的影响忽略不计；四、符号说明R：圆柱底面半径和圆锥底面半径L：圆柱长度A：圆锥高H：标尺被油浸湿位置的高度V：油罐内的油量Vc(H)：圆柱中的储油量Vb(H)：圆锥中的储油量S(H)：圆柱截面中储油部分对应的弓形区域面积：弓形对应的圆心角一般（图7.2）r：该弓形的半径h：该弓形的高Q(H,x):：圆锥体底面平行且距底面x处截面上表示储油部分的弓形区域面积（图7.3）H：将区间[0,R]作n等分，一份大小Hi：将区间[0,R]作n等分，相应的第i个剖分点，i=0,1,2，……，nVi：Vb(H)在Hi处的值五、模型建立通过对问题的分析，在模型的假设成立的条件下，为了解决该问题，我们将问题分为两步解决。步骤一：将[0,R]区间，依精度需要分成n等份，得到剖分点iH=iH，i=1,2,3，……，n；其中H=RH.算出刻度位置iH处相应的油量iV，（i=1,2,3，……，n）分别利用解析法和数值解法求得刻度位置处的相应油量。步骤二：根据所需的各油量读数在上一步骤中某一油量区间，通过插值或二分逼近法获得相应的刻度位置值。并比较两种方法的优劣。模型1.1（解析方法）由立体几何知识知剩油量由两部分组成：总储油量等于相应圆柱的储油量加两倍的圆锥的储油量。可记：()()2(),0(1)cbVHVHVHHR先求圆柱的储油量。图1见图1，可得2()()sinSHRRRH，利用三角函数表达式可得222()arccos(1)(1)1(1)HHHSHRRRRR推出：222[arccos(1)(1)1(1)](2)cHHHVLSLRRRRR再求两侧圆锥体的储油量。图2见图2，可得HhRrxAAX推出(1)xrRA和RxhHA222(,)cos(1)(1)1(1)hhhQHxracrrrrr推出：2222111(,)()[arcsin11]QHxtRHttt进而：3222011()(,)arcsin11AHRRRHbAVHQHxdxRHttdtRt借助数学软件可进一步求得：222232arcsin1()(3)3222()lnbRHHRARVHARRHHARHRHHRHRRH最后将（2）（3）带入（1）得公式：2222223()arccos(1)(1)1(1)222arcsin22()ln3HHHVHLRRRRRHHARRHHRAARHRHHRHRRRH模型1.2（模型1.1改进，数值方法）由于上述模型中()bVH积分难以计算，故而使用数值方法。将上面求()bVH方法改动，用数值法求。可得22222()(),0RyRzAxxAA和22222()(),0()RAyRAxxARAR推出平面z与圆锥面相交的截面面积为2()2220()AARrRRPAxRdxA而2()22200()2AHARrRbRVHdAxRdxA，求导：2()2220()2AARrRbdRVHAxRdxdHA2()220222()2AARrRbdRHVHdxdHRAxRA22()2lnARHRRHHRRH且21(0)0,()6bbVVHRA为了进行数值计算，将[0,R]区间等分成n份，得到剖分点iH=iH，（i=1,2,3，……，n）；其中H=Rn.()bVH在iH处相应的油量iV，（i=1,2,3，……，n）由导数的定义，在iH处，用差商代替微商，即：211222()()iiiibHHVVVdVHHdH此后问题既可转换成代数方程组，由数学软件解决。由于，要由油量函数的解析表达式（3）来反求反函数H的显示表示是不可能的。为此我建立模型2.1和模型2.2。模型2.1（插值法）将[0,R]区间，依精度需要分成n等份，得到剖分点iH=iH，i=1,2,3，……，n；其中H=RH.算出刻度位置iH处相应的油量iV，（i=1,2,3，……，n），现在要解决的是：当油量给出时，如何确定相应的标尺刻度位置H.这是在求V(H)=V*的根。可以采用如下两种插值方法。线性插值设),(*1iiVVV，在此区间上用线性函数近似H(V),则有1111(*)(*)*()()iiiiiiiiVVVVHHHVVVV利用matlab编程求得对应点的标尺刻度位置见表1二次插值11111111111111(*)(*)(*)(*)(*)(*)*()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiVVVVVVVVVVVVHHHHVVVVVVVVVVVV缺点：插值点需要三个在边界处，取不到足够点。利用matlab编程求得对应点的标尺刻度位置见表1模型2.2（二分逼近法）对于给定的V*，从函数()VH在等分点的值，先估计的范围*H。假设0000*HR（u,v）,0uv，取0002uvH。由第一步求得0V，与比较*V。若*0VV则00vH，反之00uH。依次重复上述步骤，直至*()kVV是给定的误差界。此时可取*kHV求出对应的标尺刻度值如下表：表1vH(线性插值法）H(二次插值法）H(二分逼近法）000012.973002596869132e-012.302023822139394e-012.281250000000000e-0123.890764026732845e-013.609183341904665e-013.611328125000000e-0134.808525456596553e-014.714724916159404e-014.703125000000000e-0145.726286886460265e-015.714536843480886e-015.716796874999999e-0156.644048316323974e-016.649064230022632e-016.652343749999999e-0167.561809746187683e-017.540370335678355e-017.541015625000000e-0178.479571176051395e-018.402706570914312e-018.408203125000000e-0189.397332605915101e-0193220793888950495e-019.246826171874998e-018.90129.993399184008047e-011191.0080013127991491.0098381111907611.009287109375000101.0883260168051051.0917942502193171.091625976562500111.1759919520110151.1765758239069031.175781250000000六、模型分析为了根据复合几何体设计测量剩油量的标尺，分为如下步骤：把区间[0,R]依精度需要分成n等份，得到剖分点Ho=0,Hi=i*H，i=1,2,3,……n,其中，H=R/H,利用求体积公式分别运用解析法和数值解法求出刻度位处的对应油量。根据所需的各油量读数所在上一步骤中的某一油量区间，通过线性插值法、二次插值法以及二分法求解获得相应的刻度位置值。对于步骤一，解析法和数值解法给出的结果相差不大，见表2表2线性插值法二次插值法二分逼近法hhk0123457.478789498561727e-017.482524186764148e-01ku0.7000.7000.72500.73750.74380.7469kv0.8000.75000.75000.75000.75000.7500kH0.7500.72500.73750.74380.74690.7484kV5.95285.66885.81045.88155.91715.9349*kVV0.01880.26520.12360.05250.01699.3750e-04121.263657887216925e+01.263311661782924e+001.262890625000000e+00131.351323822422835e+01.353186187053666e+001.351562500000000e+00141.438989757628745e+01.447737923017295e+001.447607421875000e+00151.526655692834655e+01.549408508187343e+001.548828125000000e+00161.614321628040566e+01.662809762485798e+01.662695312500000e+0171.701987563246475e+01.799722898514539e+01.799609375000000e+018（v18=17.8024)2.00000000000002.0000000000002.000000000000但是数值解法可以避免较为复杂的公式推导和积分运算，适合推广。对于步骤二，我采用v=5.934(m^3)来比较线性插值法、二次插值法和二分逼近法的优劣。通过观察表2，可以看出线性插值法较之另外的两种方法具有算法简单，易于实现的优点，但误差也相对较大，在表1也有体现，当运算数据较少、对数据精度没有过分要求时，采用此算法较为省时；通过对表和表的分析，可以看出，二次插值法，相对于二分逼近法迭代次数少，相对于线性插值法逼近结果效果好，但对点的要求会多一个，当在边界时，无法直接用此法求出对应值，还应寻找其他方法来求边界的解。通过对表和表的分析，可以看出，二分逼近法在牺牲算法复杂性换取逼近精度，虽然运行次数较多，也只是七八次。而且，二分逼近法根据误差要求，可以在理论上实现无限逼近，使得精度可以达到足够高。七、模型推广在实际问题中，油罐可能由一圆柱