极限值确定函数式中参数的求解方法

第26卷第4期高师理科学刊Vol.26No.42006年11月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityNov2006文章编号1007-9831200604-0065-04一类极限值确定函数式中的参数的求解方法倪仁兴绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000摘要对于一类具有确定极限值的函数式中的参数求解给出了4种方法分离法有理化法泰勒公式法和渐近线法并举例说明其中的渐近线法是求解此类问题的一种较好方法它具有简单方便等特点关键词极限分离法有理化法泰勒公式法渐近线法中图分类号O172文献标识码A极限是微积分的理论基础研究函数的性质实质上是通过研究各种类型的极限来达到的如连续导数定积分级数等等由此可见如何求函数的极限是重要的问题而求确定函数的极限值有众多的方法其中根据函数极限的定义来求极限值是最基本的方法反之若已知含有参数的函数式的极限值如何来确定函数式中的参数本文讨论就此进行讨论关于一类具确定极限值的极限式()[]0lim=−−∞→baxxfx中参数ab的求解方法问题其中)(xf为一已知函数给出这类问题的4种解法即分离法有理化法泰勒公式法和渐近线法并举例说明渐近线法是求解此类问题的一种较好方法它具有简单方便等特点1分离法分离法是一般教材和教参用书中最常用的解法它较多地用于)(xf为有理函数的情形其做法是对有理函数)(xf进行变量分离把它分离成一个整式和一个真分式之和然后再根据函数极限存在的条件来定出函数式中所含的参数例1[1-3]设0)11(lim2=−−++∞→baxxxx求常数a与b解由)1()1(12112−−−++=−−++bxaxbaxxx得0)]1()1(12[lim)11(lim2=+−−++=−−++∞→∞→bxaxbaxxxxx而此式成立的充要条件为01=−a且01=+b故当且仅当1=a且1−=b时0)11(lim2=−−++∞→baxxxx由例1的解题过程可以看出把函数式进行分离的目的是便于利用极限的定义但分离的过程有时是很复杂的若有理函数)(xf的分子和分母的自变量的次数较高如0)8745(lim967910=−−++++−∞→baxxxxxxx求常数a与b这时用分离法就显得较复杂2有理化法有理化法较多地用于)(xf为无理函数的情形对无理函数)(xf把baxxf−−)(分子有理化再进行收稿日期2006-05-31基金项目国家自然科学基金资助项目10271025浙江省自然科学基金资助项目102002作者简介倪仁兴1964-男浙江绍兴人教授硕士主要从事非线性分析和非线性逼近的研究66高师理科学刊第26卷适当地化简然后根据函数极限存在的条件确定函数式中待求的参数例2[2-3]设0)1(lim2=−−+−−∞→baxxxx求常数a与b解当0x时baxxxbxabxabaxxxbaxxxbaxxx+++−−++−−=+++−+−+−=−−+−1)1()21()1()(1)(112222222212122111)1()21()1(−−+++−−−++−−=bxaxxxbabxa可得使0)1(lim2=−−+−−∞→baxxxx成立的充分必要条件为012=−a且021=+ab即1±=a且21B=b而当1=a且21−=b时原函数极限不存在故当且仅当1−=a且21=b时有−+−−∞→1(lim2xxx0)=−bax例3[2-3]设0)1(lim2=−−+−+∞→baxxxx求常数a与b解类似于例2的处理可得当且仅当1=a且21−=b时有0)1(lim2=−−+−+∞→baxxxx由例2和例3的解题过程可以看出对某些无理函数式的极限如0)19(lim323=−−+−∞→baxxxx此时要确定常数a与b用分子有理化法就显得较为复杂3泰勒公式法若函数)(xf可用泰勒公式表示这时求解这类具确定极限值函数式中的参数也可用泰勒公式法求解一般地在对)(xf用泰勒公式表示之前常需对)(xf作恒等变形以利于泰勒公式的表示例4[4]设0])1(3)1([lim2=−−+−∞→baxxxx求常数a与b解因)](31112[lim31])1(3)1([lim2baxxxxbaxxxxx+−++−=−−+−∞→∞→=+−+−+−∞→)(3)]1(11)[12(lim31baxxxxxxο+−−=∞→3()31[(lim31xax0)]1()3=+xbο有031=−a且033=+b即=a311−=b反过来当31=a1−=b时明显有]131)1(3)1([lim2+−+−∞→xxxx0)334(lim=+=∞→xx故当且仅当31=a且1−=b时0])1(3)1([lim2=−−+−∞→baxxxx例5[4]设0)1(lim323=−−+−−∞→baxxxxx求常数a与b解类似于例4的处理可得当且仅当1=a且31−=b时0)1(lim323=−−+−−∞→baxxxxx类似地例13也可用泰勒公式法来求解由上可见泰勒公式法对)(xf为无理函数或有理函数的情形都适用只需这类函数满足泰勒定理的条件但同时也可以看出在用泰勒公式法确定待求的参数过程中若函数)(xf的泰勒公式比较繁或无法表示时用此法来确定待求的参数就很困难4渐近线法第4期倪仁兴一类极限值确定函数式中的参数的求解方法67在介绍此方法之前先对渐近线的定义和有关结论作一回顾定义1[3]若曲线C上的动点p沿着曲线无限地远离原点时点p与某定直线l的距离趋于零则称直线l为曲线C的渐近线命题1[3]曲线)(xfy=有斜渐近线baxy+=ab是2个待定常数且0≠a的充分必要条件为xxfax)(lim+∞→=且])([limaxxfbx−=+∞→注对−∞→x或∞→x的情形也有命题相应的结果此处略由例13可以考察以下更一般的问题确定常数a和b使得0)]()([lim=+−∞→baxxfx由上述渐近线的定义和命题可知此时常数xxfax)(lim∞→=])([limaxxfbx−=∞→用渐近线法解例1令11)(2++=xxxf则xxfax)(lim+∞→==)1(1lim2+++∞→xxxx=11lim22=+++∞→xxxx])([limaxxfbx−=+∞→=)11(lim2xxxx−+++∞→=111lim−=+−+∞→xxx例2和例3也可用渐近线法求解此处略例6[5]设0])6[(lim1=−−+∞→baxexxx求常数a与b解令xexxf1)6()(+=则由命题1有1)6(lim)(lim1=+⋅==∞→∞→xxexxfaxxx=−=∞→])([limaxxfbx7])6[(lim1=−+∞→xexxx从而7,1==ba例7[6]设0)arctan(lim=−−+∞→baxxxx求常数a与b解令xxxfarctan)(=则由命题1有2πarctanlim)(lim===+∞→+∞→xxxfaxx=−=+∞→])([limaxxfbx1111lim12πarctanlim)2πarctan(lim22−=−+=−=−+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxx从而2π=a1−=b例6和例7也可用分离法有理化法或泰勒公式法来求解但明显比用渐近线法复杂渐近线法具有简单方便等特点其优越性是明显的它无分离法有理化法或泰勒公式法存在的一些弊端但是目前流行的一些教材和辅导用书很少采用此渐近线法这也是撰写此文的其中一个原因当然在用上述4种方法时往往需要根据极限存在这一前提结合等价无穷小洛必达法则泰勒公式等技巧来确定函数式中待求的参数参考文献[1]赵树嫄经济应用数学基础一微积分[M]修订本北京中国人民大学出版社200091[2]陈传璋金福临朱学炎数学分析上册[M]第版北京高等教育出版社198474-75[3]华东师范大学数学系数学分析上册[M]第版北京高等教育出版社20016764-65[4]陈纪修於崇华金路数学分析上册[M]北京高等教育出版社2000206207[5]龚漫奇高等数学习题课教程上册[M]北京科学出版社2000184-185[6]刘玉琏数学分析学习指导书上册[M]第版北京高等教育出版社1994181-18568高师理科学刊第26卷ParameterssolutionmethodsinakindoffunctionoffixedlimitvalueNIRen-xingDepartmentofMathematicsShaoxingCollegeofArtsandSciencesShaoxing312000ChinaAbstractAbstractAbstractAbstractParametersfoursolutionmethodsaregiveninakindoffunctionoffixedlimitvalue--theseparationrulerationalsruleTaylorformularuleandasymptoticlineruleasymptoticlineruleisabettermethodtosolutionsuchproblembyexampleandcharacteristicsofsimpleandconvenienceareapparentKeywordsKeywordsKeywordsKeywordslimitseparationrulerationalsruleTaylorformularuleasymptoticlinerule高校体育教育在中国民族传统体育的保护和传承中的作用蒋国荣唐军我国的民族传统体育经过数千年的发展成为了我国宝贵的文化资源具有较高的人文研究价值直接反映我国民族的历史社会劳动风土人情爱情婚姻日常生活是记载民族历史的宝贵资料然而目前这些宝贵的资源却正逐渐从我们手里流失许多高校的体育课教学片面地注重球类项目民族传统体育教育特别缺少大众体育消费市场也几乎被球类体育项目所占领如果我们不能够认识到这一问题的严重性或者认识到了却不能够做好保护继承发展的工作面对历史和未来将负有不可推卸的责任因此立足中国丰富的民族艺术土壤弘扬中国民族传统体育是我国高校体育教育工作最切实可行具有重要意义的事情民族传统体育是整个教育事业的组成部分是体育教育工作的重要方面发展民族传统体育对于提高我国民族的人口素质促进民族地区的经济文化发展增强民族团结具有十分重要的作用教育是保护和传承的手段没有教育便失去保护和传承现实意义没有保护和传承便没有民族传统体育的延续因此体育教育在民族传统体育的保护和传承中起着举足轻重的作用是一条理想的途径更是我国民族传统体育保护工作的重中之重概括起来主要有以下几方面的作用1高校体育教育在民族传统体育保护和传承中的社会教化作用民族传统体育在人类社会发展中做出过重要贡献许多传统体育项目与一定的民俗礼仪与规矩宗教的仪式相结合大都具有各种实用功能中国民族传统体育是文化瑰宝它鲜明的民族风格独特的艺术魅力和高度的艺术水平为我国人民所喜闻乐见以学校为基地开展体育与健康已经成为世界各国的共同选择综合性的体育与健康是未来学校体育发展的大趋势韩健教授指出学校体育要担负起历史的任务要采用现代化教育手段推行全社会介入学校体育教育活动在学校开展民族传统体育教学能提高青少年学生的身心健康水平和综合素质有利于培养青少年学生的终身体育意识有利于少数民族传统体育的传承和保护在高校体育课教学中教师可以要求每个学生选学一种民族传统体育在课堂上分别介绍各种民族传统体育的开展形式和方法并指导学生学习和实践从而使学生熟练地掌握2高校体育教育对民族传统体育的整合作用民族传统体育作为一种相对独立的文化形态它的社会价值和发展前景正如马克思主义社会历史观的历来主张愈是具有民族特色的文化形态就愈具有世界意义高校体育教育要将各种民族传统体育进行整合拓宽了民族传统体育发展与创造的空间使民族传统体育与其它体育形式具有同等重要且平等的地位使其在学术与表演这个层面上与教育进行融合并应依靠其自身的力量重新焕发出勃勃的生机这是中国民族传统体育在高校教育中生存和得以保护传承的关键从许多的节庆活动中可以透视出我国古老而丰富的民族传统体育文化当我们在教学中传授和研究民族传统体