自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析

第3章控制系统的时域分析第2章建立了控制系统的数学模型并在数学上解出了运动解。从理论上讲，只要知道了系统的结构和各参数，就能算出它的各物理量的变化规律。但实际工程问题并不是简单地求解一个给定控制系统的运动，而往往是要调整系统中某些参数，甚至要改变系统的结构，以获得较好的动态性能。如果采用直接求解微分方程来研究这些问题，势必要解大量的微分方程，从而大大增加了计算量。同时，只解微分方程也不容易区分影响系统运动规律的主、次要因素。因此，能够设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来，而且还可以借助一些图表和曲线直观地把运动特征表示出来则更为实用。这样，就提出了从工程角度分析系统运动的任务。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。本章研究时间域分析方法，包括简单系统的动态性能以及高阶系统运动特性的近似分析、稳定性分析、稳态误差分析等。所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。由于系统的输出变量一般是时间t的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法为时域分析法。当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但是比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。3.1控制系统的时域响应及其性能指标为了分析和评价线性控制系统时间响应的性能，需要首先研究线性控制系统在典型输入信号作用下的时间响应过程和性能指标。3.1.1时域响应任何一个稳定的线性控制系统，在输入信号作用下的时间响应都由动态响应(或瞬态响应、暂态响应)和稳态响应两部分组成。动态响应描述了系统的动态性能，而稳态响应反映了系统的稳态精度。两者都是线性控制系统的重要性能。因此，在对系统设计时必须同时给予满足。1.动态响应动态响应又称瞬态响应或过渡过程，指系统在输入信号作用下，系统从初始状态到最终状态的响应过程。根据系统结构和参数选择情况，动态响应表现为衰减、发散或等幅振荡几种形式。显然，一个实际运行的控制系统，其动态响应必须是衰减的，也就是说，系统必须是稳定的。动态响应除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等运动信息，这些运动信息用动态性能来描述。第3章控制系统的时域分析·39··39·2.稳态响应如果一个线性系统是稳定的，那么从任何初始条件开始，经过一段时间就可以认为它的过渡过程已经结束，进入了与初始条件无关而仅由外作用决定的状态，即稳态响应。所以稳态响应是指当t趋于无穷大时系统的输出状态。稳态响应表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。由此可见，线性控制系统在输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。3.1.2稳态性能指标稳态性能指标是表征控制系统准确性的性能指标，是一项重要的技术指标，通常用稳态下输出量的期望值与实际值之间的差来衡量，称为稳态误差。如果这个差是常数，则称为静态误差，简称静误差或静差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。在本章控制系统的稳态误差一节将详细讨论。3.1.3动态性能指标一个控制系统除了稳态控制精度要满足一定的要求以外，对控制信号的响应过程也要满足一定的要求，这些要求表现为动态性能指标。不稳定系统没有实用价值，因此不需要研究其动态性能指标。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。因此在大多数情况下，为了分析研究方便，最常采用的典型输入信号是单位阶跃函数，并在零初始条件下进行研究。也就是说，在输入信号加上之前，系统的输出量及其对时间的各阶导数均等于零。描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标称为动态性能指标。线性控制系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的响应过程曲线称为系统的单位阶跃响应曲线。典型形状如图3.1所示。各项动态性能指标也示于图中。(1)延迟时间dt：指响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间，记作dt；(2)上升时间rt：指响应曲线首次从稳态值的10%过渡到90%所需的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应曲线从零首次达到稳态值所需的时间，记作rt。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快；(3)峰值时间pt：指响应曲线第一次达到峰点的时间，记作pt；(4)调节时间st：指响应曲线最后进入偏离稳态值的误差为±5%(也有取±2%)的范围并且不再越出这个范围的时间，记作st；(5)超调量σ%：对于图3.1所示的振荡性的响应过程，响应曲线第一次越过稳态值达到峰值时，越过部分的幅度与稳态值之比称为超调量，记作%σ，即max()%100%()cccσ−=×∞∞(3.1)式中()c∞表示响应曲线的稳态值，maxp()cct=表示峰值。自动控制原理·40··40·图3.1单位阶跃响应及动态性能指标上述五个动态性能指标，基本上可以体现系统动态过程的特征。在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。通常用上升时间或峰值时间来评价系统的响应速度；用超调量评价系统的阻尼程度；而调节时间是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出，上述各动态指标之间是有联系的。因此对于一个系统常没有必要列出所有动态指标。另一方面，正是由于这些指标存在联系，也不可能对各项指标都提出要求，因为这些要求之间可能会发生矛盾，以致在调整系统参数以改善系统的动态性能时，会发生顾此失彼的现象。同时，除简单的一、二阶系统外，要精确确定这些动态性能指标的解析表达式是很困难的。3.2典型输入信号如前所述，控制系统的动态性能是通过某一典型输入信号作用下系统的动态响应过程来评价的。由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。为了便于对系统的分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。典型的试验信号一般应具备两个条件：信号的数学表达式要简单，以便于数学上的分析和处理；这些信号易于在实验室中获得。基于上述的理由，在控制工程中通常采用表3-1所述的5种信号作为典型的试验信号。第3章控制系统的时域分析·41··41·表3-1典型输入信号名称时域表达式复域表达式单位阶跃函数1()0tt≥1s单位斜坡函数0tt≥21s单位加速度函数2102tt≥31s理想单位脉冲函数()0ttδ≥1正弦函数sin0Attω≥22Asωω+3.2.1阶跃函数阶跃函数的数学表达式为00,0(),0trtRt⎧=⎨⎩≥(3.2)式中，R0为一常量(见图3.2(a))。R0=1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记作()1()rtt=，其一次微分为()tδ。单位阶跃函数的拉氏变换为1()Rss=3.2.2斜坡函数斜坡函数表示在0t=时刻开始，以恒定速率R随时间而变化的函数，如图3.2(b)所示。它的数学表达式为00()0trtRtt⎧=⎨⎩≥(3.3)由于这种函数的一阶导数为常量R，故斜坡函数又称为等速度函数。1R=的斜坡函数为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。单位斜坡函数的拉氏变换为21()Rss=3.2.3抛物线函数抛物线函数的数学表达式为200()102trtRtt⎧⎪=⎨⎪⎩≥(3.4)式中，R为常数。当1R=时，2()/2rtt=为单位抛物线函数。因为22ddrRt=，所以抛物线函数代表匀加速度变化的信号，故抛物线函数又称为等加速度函数，如图3.2(c)所示。单位抛自动控制原理·42··42·物线函数的拉氏变换为31()Rss=3.2.4脉冲函数脉冲函数的定义为()()rtRtδ=(3.5)其中，R为脉冲函数的幅值，1R=的脉冲函数称为单位理想脉冲函数，并用()tδ表示。如图3.2(d)所示，()tδ函数的定义为00()0()d1tttttδδ∞−∞≠⎧=⎨=⎩=∫∞(3.6)显然，()tδ函数是一种理想脉冲信号，实际上它是不存在的。工程实践中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图3.2(e)所示，当ε远小于被控对象的时间常数时，这种单位窄脉冲信号常近似地当作()tδ函数来处理。00()10ttttεεδεε⎧⎪=⎨⎪⎩和≤≤(3.7)其中，ε为脉冲宽度或称脉冲持续时间，1ε为脉冲高度。它的积分面积为1()d1ttεδεε∞−∞=×=∫显然，当0ε→时，实际脉冲()tεδ的极限即为理想脉冲()tδ。根据定义，()tδ的拉氏变换为0001()()edlimed1ststRstttεεδε−−→===∫∫∞3.2.5正弦函数正弦函数的数学表达式为()sinrtAtω=(3.8)其中，A为正弦函数的幅值，ω为正弦函数的频率，如图3.2(f)所示。正弦函数主要用于线性控制系统的频率响应分析。在分析和设计线性控制系统时，究竟采用哪一种典型输入信号取决于系统常见的工作状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。这种处理方法在许多场合是可行的。在一般情况下，如果系统的实际输入信号大部分为一个突变的量，则应取阶跃信号为实验信号；如果系统的输入大多是随时间逐渐增加的信号，则选择斜坡信号为实验信号较为合适；如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然脉冲信号为最佳选择。例如，水位调节系统以及工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统，都可以采用阶跃函数作为典型输入信号。而对于跟踪通信卫星的天线控第3章控制系统的时域分析·43··43·制系统，斜坡函数是比较合适的典型输入。同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。通常以单位阶跃函数作为典型输入信号，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的性能进行比较和研究。图3.2典型输入信号应当指出，有些控制系统的实际输入信号是变化无常的随机信号，例如定位雷达天线控制系统，其输入信号中既有运动目标的不规则信号，又包含有许多随机噪声分量，此时就不能用上述确定性的典型输入信号去代替实际输入信号，而必须采用随机过程理论进行处理。3.3一阶系统的时域响应凡是以一阶微分方程描述的控制系统，称为一阶系统。一阶系统在控制工程中应用广泛，特别是有些高阶系统的特性，常可用一阶系统的特性来近似表征。3.3.1一阶系统数学模型图3.3所示RC滤波电路是最常见的一阶系统，其运动方程可由下列微分方程描述。ooid()()()utRCututdt+=图3.3RC滤波电路直流电动机系统空载时的运动方程为MMad()()()dtTtKUttωω+=因此，它也是一个一阶系统。自动控制原理·44··44·描述一阶系统动态特性的运动方程的标准形式是d()()()dctTctrtt+=(3.9)式中，T为时间常数，代表系统的惯性；()ct和()rt分别是系统的输出信号和输入信号。由式(3.9)求得一阶系统的传递函数为()1()()1CssRsTsΦ==+(3.10)一阶系统的方框图如图3.4(a)所示，它在s平面上的极点分布为1sT=−，如图3.4(b)所示。图3.4一阶系统方框图和极点分布图下面分析一阶系统在典型输入信号作用下的响应过程，设系统的初始条件为零。并由此得到一阶系统的特点和线性系统的有关结论。3.3.2一阶系统的单位阶跃响应当系统的输入信号()1()rtt=时，系统的输出响应()ct称为单位阶跃响应，其拉氏变换式为111()()()11TCssRsTsssTsΦ==⋅=−++取()Cs的拉氏反变换，得一阶系统的单位阶跃响应为st()(t)(t)1e(0)tTctcct−=−=−≥(3.11)式中，s()1ct=是稳态分量，由输入信号决定。t()etTct−=−是系统的动态分量(瞬态分量)，它的变化规律由传递函数的极点1sT=