80解直角三角形

第1页（共27页）2016年12月20日解直角三角形一．填空题（共11小题）1．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．2．求值：sin60°﹣tan30°=．3．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为．4．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB=．5．计算：sin45°+cos45°﹣tan30°sin60°=．6．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．7．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=．9．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．第2页（共27页）10．等腰三角形腰长为2cm，底边长为2cm，则顶角为，面积为．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=．二．解答题（共19小题）12．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．13．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）14．如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．15．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）第3页（共27页）16．如图，已知AC=4，求AB和BC的长．17．如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除D点外，其他顶点均在矩形EFGH的边上．AB=50cm，BC=40cm，∠BAE=55°，求EF的长．参考数据：sin55°=0.82，cos55°=0.57，tan55°=1.43．18．如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC的周长．20．如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．第4页（共27页）22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．23．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=，DB=3．求：（1）AB的长；（2）∠CAB的余切值．24．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求tanC的值．25．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．26．如图，在△ABC中，CD为中线，tanB=，sinA=，CA=10，求cos∠ADC的值．第5页（共27页）27．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．28．在△ABC中，∠B是锐角，AD是BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB是方程10x2﹣3x﹣4=0的一个根．（1）求线段CD的长；（2）求tan∠EDC的值．29．如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，运动时间为t秒，求：（1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半；（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？30．已知在△ABC中，∠B=30°，tanC=2，AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）第6页（共27页）2016年12月20日解直角三角形参考答案与试题解析一．填空题（共11小题）1．（2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．【分析】把15°化为60°﹣45°，则可利用sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ和特殊角的三角函数值计算出sin15°的值．【解答】解：sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了阅读理解能力．2．（2016•闸北区一模）求值：sin60°﹣tan30°=．【分析】根据sin60°=，tan30°=得到原式=﹣，然后通分合并即可．【解答】解：原式=﹣=﹣=．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．3．（2016•富顺县校级一模）若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为20°．【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．【解答】解：∵tan（x+10°）=1，第7页（共27页）∴tan（x+10°）==，∴x+10°=30°，∴x=20°．故答案为：20°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．4．（2016•洪泽县一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB=1．【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得∠B，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得∠B=45°．tanB=tan45°=1，故答案为：1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．（2016•抚顺县一模）计算：sin45°+cos45°﹣tan30°sin60°=﹣．【分析】把特殊角是三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式=+﹣×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值的计算，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．6．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据正切等于对边比邻边列式求解即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα===，∴t=．第8页（共27页）故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形是利用正切列式的关键，需要熟记正切=对边：邻边．7．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO==，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4第9页（共27页）【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．8．（2016•天桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=9．第10页（共27页）【分析】根据锐角三角函数的定义先设BC=4x，得出AC=3x，再根据勾股定理求出求出x的值，从而得出AC．【解答】解：∵∠ACB=90°，tanA==，∴设BC=4x，则AC=3x，∵AB==15，∴15=，解得：x2=9，∴x1=3或x2=﹣3（不合题意，舍去），∴AC=3x=9；故答案为：9．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数和勾股定理；求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．9．（2016•虹口区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tanA==，AB=3，∴BE=4，∴EC=BE﹣BC=4﹣2=2，∵△ABE和△CDE中，∠B=∠EDC=90°，∠E=∠E，∴∠DCE=∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE=tanA==，∴设DE=4x，则DC=3x，在直角△CDE中，EC2=DE2+DC2，∴4=16x2+9x2，解得：x=，则CD=．第11页（共27页）故答案是：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．10．（2016•陕西校级模拟）等腰三角形腰长为2cm，底边长为2cm，则顶角为120°，面积为cm2．．【分析】作底边上的高，根据等腰三线合一的性质，也是底边上的中线，利用勾股定理求出底边上的高，然后代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，∴BD=D