材料力学 第五章

MechanicsofMaterials材料力学编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社《材料力学》第三版（主编袁海庆）5弯曲内力编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社《材料力学》第三版（主编袁海庆）5.1梁的平面弯曲梁的计算简图5.2梁的内力剪力和弯矩5.3剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图5.4内力与分布荷载间的关系及其应用5.5用区段叠加法作梁的弯矩图5弯曲内力5.1梁的平面弯曲梁的计算简图工厂厂房的天车大梁梁常见的梁的弯曲现象：FF以弯曲变形为主的构件称为梁梁常见的梁的弯曲现象：轻轨的箱梁：阳台的挑梁：火车的轮轴：FFFF梁常见的梁的弯曲现象：所有横向外力（或其合力）均作用在同一纵向平面内，变形后轴线成为一条平面曲线，其所在平面与外力作用面重合，这种弯曲称为平面弯曲。5.1.1梁的平面弯曲概念梁的平面弯曲的特征5.1.1梁的平面弯曲概念工程中常见的梁，通常具有对称的截面，且荷载均作用在梁的纵向对称平面内，均发生平面弯曲。5.1.2梁的计算简图构件的简化支座的简化荷载的简化计算简图5.1.2梁的计算简图常见支座：固定铰支座（铰链）可动铰支座（支杆）固定支座5.1.2梁的计算简图常见的简单梁：简支梁外伸梁（伸臂梁）悬臂梁5.1.2梁的计算简图常见的荷载：)(xqqFm集中力分布荷载集中力偶5-2梁的内力剪力和弯矩一、弯曲内力的确定（截面法）：根据截面法，图中梁上距A端x处m-m截面上内力求解：1.求支座反力lalFlFaFAYBY)(F,lalFFFAY)(Q,0Y.0QAYFFxlalFxFMAY)(,0Cm.0xFMAY以m-m截面的左段为研究对象：2.求m-m截面内力FalABmmxFAYFBYFQMFAYAC一、弯曲内力的确定（截面法）：根据截面法，图中梁上距A端x处m-m截面上内力求解：1.求支座反力lalFlFaFAVBV)(F,lalFFFAV)(QxlalFxFMAV)(以m-m截面的右段为研究对象，也将得到同样的结果。2.求m-m截面内力FalABmmxFAVFBVFBYFCMFQFalABmmx一、弯曲内力的确定（截面法）：FalABmmxFAVFBVFBYFCMFQFalABmmx1.弯矩：M梁受弯时，在与横截面垂直的竖向平面内所存在的内力偶矩（弯矩）。2.剪力：FQ梁受弯时，横截面上所存在平行于截面的内力（剪力）。梁横截面的内力：二、弯曲内力的正负号规定:剪力FQ:以使脱离体有顺时针旋转趋势为正FQFQ－FQFQ+dl二、弯曲内力的正负号规定:弯矩M：以使梁下部纤维受拉为正M+MMM－为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。例5.1求简支梁C,B截面的内力。l/4lABCqQCFCMAVFAC解：（1）确定支座反力2qlFFBVAV(2)C截面内力4qlFQC3232qlMC取C截面以左部分为脱离体：0Y04QCAVFlqF0CM0844lqllFMAVC例5.1求简支梁C,B截面的内力。l/4lABCq解：（1）确定支座反力2qlFFBVAV(2)C截面内力2qlFQB0BM0Y0QBBVFF0BMQBFBMBVFB(3)B截面内力贴近B端取一薄片作为脱离体：可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定梁内力的简化方法如下：三、确定梁的内力的简化方法(1)梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起负剪力。(2)梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上引起正弯矩，反之引起负弯矩。例5.2求梁B截面右侧1-1截面的剪力和E截面的弯矩。解：（1）确定支座反力kN1,kN5DVBVFF(2)1-1截面内力kN325QBF(3)E-E截面弯矩mkN1m1kN1EMADC2kN2mCBE4kN2m1m1m11BVFDVF根据简化方法，用1-1截面左边外力来求该截面剪力：根据简化方法，用1-1截面右边外力来求该截面弯矩：5.3剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图)(QQxFF剪力方程)(xMM弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程，即显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。解：1.列剪力方程和弯矩方程。lxqxxFQ0－lxqxxqxxM0222－－例5.3图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。以B端为原点，用距原点任意位置左面以右外力写出内力表达式：2.根据内力方程画剪力图和弯矩图。ABxlqqlFQ－xMl/2ql282ql2x注意：M图画在梁纤维受拉的一面,可以不标正负号。例5.4图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支反力lFbFAVlFaFBV(2)列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出xBlAFabCFBVFAVlFbxFQxlFbxMlFaxFVxFQBQxllFaxMxlVxMB)(lxaCB段AC段ax0例5.4图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：xBlAFabCFBVFAV(3)画内力图MFablFQFblFalFb例5.4图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：xBlAFabCFBVFAV(3)画内力图FQFblFalFbFalFQlFq通过列剪力方程和弯矩方程作内力图的要点：（1）列剪力方程和弯矩方程的基本方法是求到原点距离为x处截面的剪力和弯矩。可以用截面法计算，也可以用简化方法计算。（2）根据梁所受外力的情况，必要时应分段列写剪力方程和弯矩方程。（3）有集中力作用的截面，其作用截面两侧截面的剪力值将发生突变；在集中力偶作用处，其作用截面两侧截面的弯矩值发生突变。（4）弯矩方程中弯矩的正负号应符合规定，弯矩图应画在梁受拉的一侧，可以不标正负号。解:(1)求支反力lMFAV0lMFB00BM例5.5图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。M0FAVFBVBlACab(2)列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：lxlMFxQAV00弯矩方程——两段：xlMxMxFxMAV0xllMxMMxFxMAV00CB段：lxaAC段：ax0解:例5.5图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。mFAVFBVBlACab(3)画内力图FQlmlmbMlma5.4内力与分布荷载间的关系及应用5.4.1剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系在梁中取出一长度为dx的微段，其受力情况分析如下：M(x)+dM(x)q(x)M(x)FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)dxO1荷载：q(x)左截面上的内力（对于微段已是外力）：M(x),FQ(x)右截面上的内力（对于微段已是外力）：M(x)+dM(x),FQ(x)+dFQ(x)考虑微段的平衡：dxABmmxnnxyq(x)5.4.1剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系dxABmmxnnxyq(x)q(x)M(x)M(x)+dM(x)FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)dxO10Y)(dd)(QxFxxqxqxxFddQ0)(d)(d)()(xFxFxxqxFQQQ5.4.1剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系dxABmmxnnxyq(x)q(x)M(x)M(x)+dM(x)FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)dxO1,01Om)(d)(dxFxxMQxxFxxMd)(dd)(dQ220)](d)([))(d(21)()d(2xMxMxxqxMxxFQ对n-n截面形心O1取矩，有)(d)(d22xqxxMxqxxFdds弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。xqxxFddQ)(d)(dxFxxMQ)(d)(d22xqxxMq、FQ和M三者的微分关系:剪力图上某点处的切线斜率等于该截面处分布荷载值（以向上为正）。5.4.2.几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征在C截面有突变外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FQ图特征M图特征CFC水平直线xFQ0FQ0x斜直线xxC自左向右突变C无变化直线(一般为斜直线)曲线在C截面有折角MeCMe++－－－+利用以上特征1.可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确。2.利用微分关系确定弯矩出现极值的截面，计算最大最小值。3.可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：（1）求支座反力；（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；（3）计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；（4）确定和。maxQFmaxM解：1、支反力2、作剪力图由微分关系可知，AC、CD、FB段分别为水平直线，DF段为斜直线kN4;kN6BAFF例5.6求作梁的内力图。FAFBq=2.5kN/mFP=2kN1mABC1m1m1m1mDEFkN611AQFF112233kN1522AQFFkN433BQFF根据微分关系可作出剪力图+－614FQ(kN)解：3、作弯矩图由微分关系可知，AC、CD、FB段分别为斜直线，DF段为抛物线例5.6求作梁的内力图。FAFBq=2.5kN/mFP=2kN1mABC1m1m1m1mDEF0AM112233mkN61ACFM根据微分关系可作出弯矩图+－614FQ(kN)mkN712PADFFM0BMmkN75.62112qFMBE676.754M(kN·m)思考：最大弯矩出现在什么位置？如何求出？5.5用区段叠加法作梁的弯矩图叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：线弹性小变形FP=2kN1mABC1m1m1m1mDEF在上节例题中，取出DF段分析：由平衡条件可知，(b)梁与(a)中梁段受力相同。由叠加原理，(b)可以视为(c)与(d)的叠加，对于任意截面K，有KKKKKMMM(c)MFMDMFMDFD(a)q(b)MDMFq(d)qKMKM281qlKEDFkN75.6822qlMMMFDE即作出(b)的弯矩图，即为(a)的弯矩图按叠加原理作弯矩图步骤：（1）选取适当的截面（控制截面），将梁分成若干段，使每段的弯矩图分别直线或抛物线。（2）求出各控制截面的弯矩，按比例标在图上。(３)对于无荷载作用的梁段，直接将两端的弯矩竖标连以直线；对于均布荷载作用的梁段，应先将两端的弯矩竖标连以虚线，在虚线中点处将弯矩竖标沿均布荷载作用的方向叠加上长度为ql2/8的一段竖标，将该竖标顶点与两端截面弯矩竖标顶点连成抛物线。2kN/mABC4m4m1kN44kN·m例５.７试用区段叠加法作图示梁的弯矩图。解：（１）选取控制截面并计算其弯矩选取A、B、C截面为控制截面0,0CAMMmkN414BM上侧受拉）(（２）作弯矩图例５.８试用区段叠加法作图示静定多跨梁的弯矩图。解：（１）选取控制截面并计算其弯矩选取A、B、C、D、E截面为控制截面FE为了求D截面弯矩，需求先求E支座反力：0CM由可求得：kN20DF由几何关系，可求得：kN16BM（上面受拉）mkN8DM（下面受拉）４kN/mABC4m４kN/mDE4m2m6m40kN·mA、C、E截面弯矩？例５.８试用区段叠加法作图示静定多跨梁的弯矩图。解：（１）选取控制截面并计算其弯矩2000ECAMMMFEkN16BM（上面受拉）mkN8DM（下面受拉）（２）作弯矩图1684